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Wie du prüfst, ob Terme äquivalent sind


Aufgabe

Prüfe, ob die Terme
\(T_1(x)=3 \cdot (2-x) \cdot x +8x-7\)
und
\(T_2(x)=2(3x-12+4x) +2^2\cdot 3 -3x^2\)
äquivalent sind.

Hinweis

Zwei Terme sind äquivalent, wenn du in beiden Termen die Variable(n) durch Zahlen ersetzen kannst und dann bei beiden Termen der gleiche Wert als Ergebnis herauskommt.

Schritt 1: Überlege dir die Rechenreihenfolge

Um zu zeigen, dass beide Terme äquivalent sind, musst du beide Terme vereinfachen. Dafür musst du wissen, welche Rechnungen zuerst ausgeführt werden müssen. Die Rechenreihenfolge kannst du dir besonders leicht mit diesem Merksatz merken: „Die Klammer sagt, zuerst komm ich, dann gilt Potenz vor Punkt vor Strich.“

Du fasst also zuerst gleichartige Ausdrücke in den Klammern zusammen, berechnest dann Potenzen, also Ausdrücke mit Hochzahlen, dann Punktrechnungen wie mal und geteilt und dann Strichrechnungen wie plus und minus.

Schritt 2: Fasse gleichartige Ausdrücke in Klammern zusammen

Nur im zweiten Term
\(T_2(x)=2(3x-12+4x) +2^2\cdot 3 -3x^2\)
kannst du gleichartige Ausdrücke in der Klammer zusammenfassen, nämlich 3x und 4x. Es ergibt sich:

\(T_2(x)=2(7x-12) +2^2\cdot 3 -3x^2\)

Schritt 3: Berechne die Potenzen

Nur der zweite Term
\(T_2(x)=2(7x-12) +2^2\cdot 3 -3x^2\)
enthält eine Potenz, die man berechnen kann, nämlich \(2^2\). Diese berechnest du als Nächstes.

\(T_2(x)=2(7x-12) +4\cdot 3 -3x^2\)

Schritt 4: Führe die Punktrechnungen aus

Nun werden alle Rechnungen mit mal und geteilt durchgeführt. Beim Term
\(T_1(x)=3 \cdot (2-x) \cdot x +8x-7\)
kann man zuerst die Ausdrücke \((2-x)\) und \(x\) vertauschen. Das ist ja beim Multiplizieren möglich.

\(T_1(x)=3x \cdot (2-x) +8x-7\)

Dann kann man die Klammer ausmultiplizieren.

\(T_1(x)=6x-3x^2 +8x-7\)

Genauso werden beim zweiten Term
\(T_2(x)=2(7x-12) +4\cdot 3 -3x^2\)
alle Multiplikationen ausgeführt.

\(T_2(x)=14x-24 +12 -3x^2\)

Schritt 5: Führe die Strichrechnungen aus

Nun kommen alle Rechnungen mit plus und minus dran. Dabei können gleichartige Terme zusammengefasst werden.

Bei
\(T_1(x)=6x-3x^2 +8x-7\)
lassen sich die Terme mit x zusammenfassen.

\(T_1(x)=14x-3x^2 -7\)

Der erste Term ist damit vollständig vereinfacht.

Bei
\(T_2(x)=14x-24 +12 -3x^2\)
lassen sich die Zahlen zusammenfassen.

\(T_2(x)=14x-12 -3x^2\)

Der zweite Term ist damit auch vollständig vereinfacht.

Schritt 6: Prüfe auf Äquivalenz

Jetzt kannst du überprüfen, ob die Terme äquivalent sind. Damit du die Terme leichter vergleichen kannst, ordne die Ausdrücke so um, dass sie bei beiden Termen in der gleichen Reihenfolge stehen. Beginne z. B. mit dem Ausdruck mit \(x^2\) und lass dann den Ausdruck mit \(x\) und die Zahlen folgen. Achte dabei auf die Vorzeichen!

\(T_1(x)=14x-3x^2 -7=-3x^2+14x-7\)

\(T_2(x)=14x-12 -3x^2=-3x^2+14x-12\)

Nun erkennst du leicht, dass die Terme nicht äquivalent sind, da sich die Zahlen am Ende unterscheiden.

Lösung

Die Terme lauten vereinfacht:

\(T_1(x)=-3x^2+14x-7\)

\(T_2(x)=-3x^2+14x-12\)

Sie sind nicht äquivalent.

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