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Wie du prüfst, ob ein Dreieck rechtwinklig ist


Aufgabe

Vier Pfähle A, B, C und D markieren die geplanten Eckpunkte einer Garage, die an einem Wohnhaus angebaut werden soll. Der Grundriss der Garage soll ein Rechteck sein, aber einer der Pfähle C oder D wurde auf dem Grundstück falsch positioniert.

Ermittle aus den in der Skizze angegebenen Abständen, welcher der beiden Winkel bei A oder B kein rechter Winkel ist und welcher Pfahl somit falsch steht.

Wie du prüfst, ob ein Dreieck rechtwinklig ist - Abbildung 1

Hinweis

Die Idee dieser Aufgabe ist zu prüfen, an welcher der Ecken A oder B der Satz von Pythagoras nicht gilt.

Schritt 1: Skizze und Ansatz

Laut Aufgabenstellung ist einer der beiden Winkel bei A oder B ein rechter Winkel, der andere nicht. Um zu prüfen, ob z. B. bei A ein rechter Winkel vorliegt, musst du Dreieck ABD untersuchen:

Wie du prüfst, ob ein Dreieck rechtwinklig ist - Abbildung 2

Wenn  \(\alpha\) ein rechter Winkel ist, dann gilt der Satz des Pythagoras:

a² + b² = c², wobei  a und b die beiden kürzeren Seiten (Katheten) sind und c die längste Seite (Hypotenuse) ist.

Schritt 2: Gegebene Größen einsetzen und ausrechnen

In unserem Fall ist a = 2,4 m, b = 3,2 m  und c = 4,1 m. Diese Größen setzen wir in die Formel von Pythagoras ein:

a² + b² = c² wird zu

(2,4 m)² + (3,2 m)² = (4,1 m)², also laut Taschenrechner

5,76 m² + 10,24 m² = 16,81 m².

Überprüfen

Aber die linke Seite ist 5,76 m² + 10,24 m² = 16 m², also nicht gleich der rechten Seite. Somit gilt in diesem Dreieck der Satz des Pythagoras nicht, sodass es kein rechtwinkliges Dreieck sein kann.

Bei α liegt kein rechter Winkel vor, also liegt der Pfahl D an der falschen Stelle.

Bemerkung

Du kannst auch den Winkel bei B mit dem Satz des Pythagoras untersuchen: Betrachte dazu das Dreieck ABC:

Wie du prüfst, ob ein Dreieck rechtwinklig ist - Abbildung 3

Die beiden kürzeren Seiten (Katheten) sind hier wieder a = 2,4 m  und b = 3,2 m, aber die längste Seite (Hypotenuse) ist diesmal c = 4,0 m.

Diese Zahlen setzen wir in die Formel von Pythagoras ein:

a² + b² = c² wird zu

(2,4 m)² + (3,2 m)² = (4 m)², also laut Taschenrechner

5,76 m² + 10,24 m² = 16 m²

Überprüfen

Diesmal stimmt die Gleichung. Deswegen ist ABC ein rechtwinkliges Dreieck, d. h. \(\beta = 90°\) und der Pfahl C steht richtig.

Laut Aufgabenstellung ist entweder der Winkel bei A oder der Winkel bei B kein rechter Winkel. Wegen \(\beta = 90°\) ist also \(\alpha \neq90°\), d. h., der Pfahl D steht falsch.

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