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Wie du Potenzen umformst, sodass negative Exponenten vorkommen


Aufgabe

Schreibe folgenden Term um, sodass keine Brüche mehr vorkommen. Verwende dazu negative Exponenten.

\(\dfrac{x^3}{(\dfrac{y}{x})^4}\)

Schritt 1: Bringe den Faktor aus dem Nenner in den Zähler

Ziel ist es also, den Term ohne Bruch zu schreiben. Um die Brüche „loszuwerden“, musst du alle Faktoren umformen, die im Nenner stehen. Beginne mit dem Faktor \((\dfrac{y}{x})^4\). Das geht mithilfe des folgenden Potenzgesetzes:

\(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\)

In unserem Beispiel ist:

\(\dfrac{1}{(\dfrac{y}{x})^4} = (\dfrac{y}{x})^{-4}\)

Der vollständige Term lautet jetzt also:

\(x^3\cdot(\dfrac{y}{x})^{-4}\)

Schritt 2: Eliminiere den Bruch in der Klammer

Als Nächstes musst du den Bruch in der Klammer „loswerden“. Laut den Potenzgesetzen ist:

\((\dfrac{y}{x})^{-4}=\dfrac{y^{-4}}{x^{-4}}\)

Wieder schreibst du den Term im Nenner so um, dass er in den Zähler wandert.

\(\dfrac{1}{x^{-4}}= x^4\)

Also ist:

\((\dfrac{y}{x})^{-4}=y^{-4}\cdot x^{4}\)

Der vollständige Term ohne Brüche lautet jetzt:

\(x^3\cdot y^{-4}\cdot x^4\)

Schritt 3: Fasse zusammen

Jetzt kannst du den Term noch zusammenfassen. Mit den Regeln zur Multiplikation von Potenzen wird der Ausdruck zu:

\(x^7\cdot y^{-4}\)

Lösung

\(\dfrac{x^3}{(\dfrac{y}{x})^4}=x^7\cdot y^{-4}\)

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