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Wie du Potenzen mit negativem Exponenten berechnest


Aufgabe

Berechne folgende Potenzen ohne Taschenrechner:

  1. \(4^{-2}\)
  2. \((-3)^{-4}\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

Schritt 1: Schreibe die Potenz als Bruch

Wenn der Exponent negativ ist, kannst du die Potenz in einen Bruch umschreiben und so das Vorzeichen des Exponenten ändern. Im Zähler steht dann eine 1 und im Nenner die Potenz mit positivem Exponenten.

\(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\)

In unserem Beispiel also:

\(4^{-2}= \dfrac{1}{4^2} \)

Schritt 2: Berechne den Nenner

Jetzt kannst du die Potenz im Nenner wie gewohnt berechnen.

\(4^{-2}= \dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{4\cdot4}=\dfrac{1}{16}\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

Schritt 1: Schreibe die Potenz als Bruch

Bei einer negativen Basis kannst du genauso vorgehen. Hier lautet der Bruch:

\((-3)^{-4}= \dfrac{1}{(-3)^4} \)

Schritt 2: Berechne den Nenner

Wieder berechnest du jetzt die Potenz im Nenner.

\((-3)^{-4}= \dfrac{1}{(-3)^4} =\dfrac{1}{(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)}=\dfrac{1}{81}\)

Hinweis

Ob das Ergebnis positiv oder negativ sein wird, hängt davon ab, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. Bei Teilaufgabe b) ist der Exponent −4, also gerade. Somit ist das Ergebnis in jedem Fall positiv. Nur bei negativer Basis und einem ungeraden Exponenten ist das Ergebnis negativ, z. B. bei \((-3)^{5}\).

Lösung

  1. \((4)^{-2}=\dfrac{1}{16}\)
  2. \((-3)^{-4}=\dfrac{1}{81}\)
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