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Wie du Potenzen mit gebrochenrationalen Exponenten berechnest


Aufgabe

Berechne ohne Taschenrechner:

\(125 ^ {\frac{2}{3}}\)

Hinweis

Um solche Aufgaben ohne Taschenrechner berechnen zu können, musst du die wichtigsten Quadrate, die 2er-Potenzen und einige andere häufig vorkommende Potenzzahlen auswendig können.

Schritt 1: Forme die Potenz in Wurzelschreibweise um

Wenn du eine gebrochenrationale Potenz berechnen möchtest, ist es einfacher, sie erst einmal in die Wurzelschreibweise umzuformen.

Dazu schreibst du die Zahl, die im Nenner des Bruchs steht (hier die 3), auf den Anstrich der Wurzel. Die Zahl, die im Zähler des Bruchs steht (hier die 2), bleibt im Exponenten der Potenz stehen.

  
\(125 ^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{125 ^2}\)

Schritt 2: Ziehe die Wurzel

Bei Aufgaben mit Wurzeln aus Potenzen ist es einfacher, zuerst die Wurzel zu ziehen.

Dazu musst du dir überlegen, wie man die Basis als Potenz schreiben kann. In diesem Fall ist 125 gleich 5³.

\(\sqrt[3]{125^2} = \sqrt[3]{(5^3)^2} \)

Wenn du eine Potenz potenzierst, dann kannst du die beiden Hochzahlen in der Reihenfolge vertauschen.

\(\sqrt[3]{(5^3)^2} = \sqrt[3]{(5^2)^3}\)

Die dritte Wurzel und die Hochzahl 3 heben sich nun gegenseitig auf.

\( \sqrt[\color{red}3]{(5^2)^\color{red}3} = 5^2\)

Schritt 3: Berechne die Potenz 

Nun musst du nur noch die übrig gebliebene Potenz berechnen.

5² = 25

Lösung

\(125^{\frac{2}{3}} = 25\)

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