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Wie du Polynome in Faktorschreibweise angibst


Aufgabe

Gib die Faktorschreibweise folgender Polynome an:

a) \( f(x)=2x^4+4x^3-30x^2\)

b) \(g(x)=x^3+2x^2+2x+1\)

Das musst du wissen

Wenn du ein Polynom in Faktorschreibweise angeben sollst, heißt das, dass du es in ein Produkt umwandeln musst.

Du musst also weitere Polynome finden, die miteinander multipliziert dein Ausgangspolynom ergeben. Dafür gibt es verschiedene Ansätze. Der einfachste ist meistens, zu Beginn gemeinsame Faktoren auszuklammern, die in allen Summanden auftreten. Das können sowohl Zahlen als auch Variablen sein.

Der nächste Schritt ist dann die Suche nach Nullstellen, da du mit ihrer Hilfe Linearfaktoren bilden kannst. Diese Linearfaktoren können zur Umwandlung deines Polynoms in ein Produkt benutzt werden, denn sie stellen Faktoren dar, die das Polynom teilen.

Um den oder die anderen Faktoren zu erhalten, kannst du manchmal auch noch auf Polynomdivision zurückgreifen. Bei quadratischen Polynomen benutzt du die pq-Formel oder den Satz von Vieta.

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) Gib die Faktorschreibweise des Polynoms \( f(x)=2x^4+4x^3-30x^2\) an.

Schritt 1: Klammere gemeinsame Koeffizienten aus

Du willst also nun das Polynom \(f(x)\) in ein Produkt umwandeln. Da es bei diesem Polynom Faktoren gibt, die in allen Summanden auftreten, kannst du damit beginnen, diese auszuklammern. Konzentriere dich zuerst auf die Koeffizienten, denn die nachfolgenden Rechnungen werden einfacher, wenn diese Zahlen kleiner werden.

In dem vorliegenden Polynom \(f(x)\) kann 2 ausgeklammert werden.

\(f(x)=2x^4+4x^3-30x^2=2\cdot x^4+2\cdot2x^3-2\cdot15x^2\), also:

\(f(x)= 2\cdot(x^4+2x^3-15x^2)\)

Nun musst du überprüfen, ob der Term in der Klammer noch weiter in ein Produkt umgewandelt werden kann.

Schritt 2: Berechne Nullstellen und bilde Linearfaktoren

Ein Polynom kann weiter faktorisiert werden, wenn es Nullstellen besitzt. Du musst also nun das Polynom \(x^4+2x^3-15x^2\) auf Nullstellen untersuchen. Die erste mögliche Nullstelle, die du sehr leicht überprüfen kannst, ist immer die 0. Da jeder Summand des Polynoms die Variable \(x\) als Faktor enthält, wird der Wert des Polynoms 0, wenn man 0 für \(x\) einsetzt.

Wenn du nun eine Nullstelle \(n\) kennst, benutzt du die Regel, dass der zugehörige Linearfaktor \((x-n)\) das Polynom teilt.

Der zu 0 gehörige Linearfaktor ist \((x-0)\), also \(x\). Wenn du das Polynom \(f(x)\) durch \(x\) teilst, ist das so, als würdest du \(x\) ausklammern.

\(f(x)=2\cdot(x-0)\cdot(x^3+2x^2-15x)=2x\cdot(x^3+2x^2-15x)\)

Nun betrachtest du das Restpolynom \(x^3+2x^2-15x\). Auch dieses besitzt noch einmal 0 als Nullstelle, du kannst also ein weiteres Mal den Faktor \(x\) ausklammern. Das heißt, dass \(x\) doppelte Nullstelle des Polynoms \(f(x)\) ist. Also gilt:

\(f(x)=2x^4+4x^3-30x^2=2\cdot (x-0)\cdot (x-0)\cdot(x^2+2x-15)=2x^2(x^2+2x-15)\)

Um nun das Restpolynom \(x^2+2x-15\) weiter auf Nullstellen zu untersuchen, kannst du, da es sich um eine typische quadratische Gleichung handelt, die pq-Formel oder den Satz von Vieta nutzen. Beide Möglichkeiten liefern dir natürlich die gleichen Lösungen, schneller geht es in der Regel mit dem Satz von Vieta.

−15 kann als Produkt aus 5 und −3 geschrieben werden: \(-15 = 5 \cdot (-3)\).

2 ist die Summe dieser beiden Zahlen: \(2 = 5 + (-3)\).

Daher hat das Polynom \(x^2+2x-15\) die Gegenzahlen −5 und 3 als Nullstellen und kann folglich als Produkt der Linearfaktoren \((x+5)\) und \((x-3)\) geschrieben werden.

\(x^2+2x-15=(x+5)\cdot(x-3)\)

Insgesamt erhältst du also als Faktorschreibweise deines Polynoms:

\(f(x)=2x^2\cdot(x+5)\cdot(x-3)\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Gib das Polynom \(g(x)=x^3+2x^2+2x+1\) in Faktorschreibweise an.

Schritt 1: Klammere gemeinsame Koeffizienten aus

Diesen Schritt kannst du bei dem vorliegenden Polynom nicht durchführen. Es treten nur die Koeffizienten 1 und 2 auf, diese haben aber (bis auf die 1) keinen gemeinsamen Teiler. Also machst du direkt mit Schritt 2, der Suche nach Nullstellen weiter.

Schritt 2: Berechne Nullstellen und bilde Linearfaktoren

Aufgrund des konstanten Summanden +1 ist die 0 dieses Mal keine Nullstelle des betrachteten Polynoms. Daher kannst du den Linearfaktor \((x-0)\) bzw. \(x\) hier nicht ausklammern. Um einen anderen Linearfaktor zu finden, den du ausklammern kannst, probiere nun aus, ob andere (ganze) Zahlen Nullstellen deines Polynoms sind. Versuche es z. B. mit 1, −1, 2, −2 usw., und zwar so lange, bis du eine Nullstelle findest. Hier gilt:

\(g(1)=1^3+2\cdot1^2+2\cdot1+1=6\)

Also ist 1 keine Nullstelle von \(g(x)\).

Aber es gilt:

\(g(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)+1=-1+2-2+1=0\)

Daher ist −1 eine Nullstelle von \(g(x)\).

Weil −1 eine Nullstelle ist, kann \(g(x)\) in ein Produkt umgewandelt werden, bei dem einer der beiden Faktoren der Linearfaktor \( (x-(-1))=(x+1)\) ist. Um den zweiten Faktor des Produkts zu finden, führst du nun eine Polynomdivision durch.

   \((x^3+2x^2+2x+1):(x+1)=x^2+x+1\)

Das Restpolynom \(x^2+x+1\) besitzt keine Nullstellen und kann auch nicht weiter faktorisiert werden. Du bist also fertig mit der Umwandlung deines Polynoms in ein Produkt. \((x^2+x+1)\) und \((x+1)\) sind die beiden Faktoren, in die es zerlegt werden kann.

Lösung

a) Die Faktorschreibweise von \(f(x)\) ist:
\(f(x)=2x^4+4x^3-30x^2=2x^2\cdot(x-5)\cdot(x+3)\)

b) Die Faktorschreibweise von \(g(x)\) ist:
\(g(x)=x^3+2x^2+2x+1=(x^2+x+1)\cdot(x+1)\)

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