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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion bestimmst

Aufgabe

Gib jeweils den Term einer in \(\mathbb{R}\) definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.

  1. Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(x\longmapsto\sin(x)\) durch Spiegelung an der \(y\)-Achse hervor.
  2. Die Funktion \(h\) hat den Wertebereich \([1;3]\).
  3. Die Funktion \(k\) besitzt die Periode \(\pi\).

Schritt 1: Funktionsgleichung der allgemeinen Sinusfunktion aufstellen

Wenn nach einer auf ganz \(\mathbb{R}\) definierten periodischen Funktion gefragt ist, dann läuft die Aufgabenstellung immer auf eine allgemeine Sinusfunktion hinaus. Das heißt, die Lösung hat die Form

\(f(x)=a\cdot\sin(b\cdot x+c)+d\)

und du musst passende Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) suchen.

Schritt 2: Streckungsfaktor anpassen für a)

Die einfachste allgemeine Sinusfunktion ist die mit den Parametern \(a=1\), \(b=1\), \(c=0\) und \(d=0\). Das ist nämlich die gewöhnliche Sinusfunktion \(x\longmapsto\sin(x)\). Für Streckung und Spiegelung an der \(x\)-Achse ist der Parameter \(a\) zuständig (der heißt auch in manchen Büchern Streckfaktor). Spiegelung an der \(x\)-Achse erreichst du, indem du die Vorzeichen von \(a\) und \(d\) umpolst. Aus den Parametern \(a=1\), \(b=1\), \(c=0\) und \(d=0\) der gewöhnlichen Sinusfunktion werden somit die neuen Parameter \(a=-1\), \(b=1\), \(c=0\) und \(d=0\). Einsetzen in den Funktionsterm der allgemeinen Sinusfunktion liefert:

\((-1)\cdot\sin(1\cdot x+0)+0=-\sin(x)\)

Laut Aufgabenstellung soll die gespiegelte Funktion \(g\) heißen, also musst du in deiner Lösung schreiben: \(g(x)=-\sin(x)\).

Schritt 3: Verschiebungsparameter anpassen für b)

Gehe wieder vom einfachsten Fall aus: der gewöhnlichen Sinusfunktion mit den Parametern \(a=1\), \(b=1\), \(c=0\) und \(d=0\). Der zugehörige Wertebereich ist \([-1;1]\), gefragt ist aber der Wertebereich \([1;3]\). Du musst also den Wertebereich um 2 LE nach oben verschieben. Dafür ist der Verschiebungsparameter \(d\) zuständig. Eine Verschiebung um 2 Einheiten nach oben erreichst du, indem du den Parameter \(d\) um 2 größer machst. Statt \(d=0\) (wie bei der gewöhnlichen Sinusfunktion) nehmen wir also \(d=2\). Die übrigen Parameter können unverändert bleiben (\(a=1\), \(b=1\) und \(c=0\)). Einsetzen in den Funktionsterm der allgemeinen Sinusfunktion liefert:

\(1\cdot\sin(1\cdot x+0)+2=\sin(x)+2\)

In der Aufgabenstellung ist die Bezeichnung \(h\) für die Lösungsfunktion vorgegeben. Schreibe also als Lösung:

\(h(x)=\sin(x)+2\)

Schritt 4: Periodenstreckung anpassen für c)

Die gewöhnliche Sinusfunktion hat die Periode \(2\pi\). Für eine Streckung oder Stauchung der Periode ist der Parameter \(b\) zuständig. Dabei gilt für die Periode \(P\) der allgemeinen Sinusfunktion die Formel:

\(\begin{align*}P=\frac{2\pi}{b}\end{align*}\)

Gewünscht wird \(P=\pi\), also müssen wir \(b\) so wählen, dass \(\frac{2\pi}{b}=\pi\) gewährleistet ist. Auflösen nach \(b\) liefert \(b=2\). Die übrigen Parameter kannst du so lassen, wie sie bei der gewöhnlichen Sinusfunktion sind (\(a=1\), \(c=0\) und \(d=0\)). Einsetzen dieser Parameter in den Funktionsterm der allgemeinen Sinusfunktion liefert:

\(1\cdot\sin(2\cdot x+0)+2=\sin(2x)\)

In der Aufgabenstellung wird verlangt, dass deine Lösung \(k\) heißt. Schreibe also als Lösung:

\(k(x)=\sin(2x)\)

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