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Wie du Nullstellen findest


Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung:

\(f(x)=8x\cdot e^{-0,25x^2}\), \(x\in\mathbb{R}\)

Der Graph der Funktion \(f\) wird in der Abbildung dargestellt. 

Wie du Nullstellen findest - Abbildung 1

Berechne die Nullstellen der Funktionen \(f\) und \(f'\).

[Zur Kontrolle: \( f'(x)=(8-4x^2)\cdot e^{-0,25x^2}\)]

Schritt 1: Nullstellen von f bestimmen

Bei der Nullstellenbestimmung ist es immer vorteilhaft, den Funktionsterm so weit wie möglich faktorisiert zu haben, d. h. ihn als Produkt zu schreiben. Im vorliegenden Fall ist der Funktionsterm schon in der Aufgabenstellung faktorisiert.

Die Nullstellen von \(f\) sind genau die Nullstellen der Faktoren \(8x\) und \(e^{-0,25x^2}\). Der 1. Faktor hat nur eine Nullstelle: \(8x=0\Longleftrightarrow x=0\). Der 2. Faktor wird nie null, denn die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen. Somit hat \(f\) genau eine Nullstelle, nämlich bei \(x=0\).

Schritt 2: Ableitungsfunktion bestimmen

Wie schon erwähnt, ist der Funktionsterm von \(f\) ein Produkt, also wendest du die Produktregel an, um die Ableitung zu bestimmen. Die Produktregel lautet:

Wenn \(f(x)=g(x)\cdot h(x)\) gilt, so ist \(f'(x)=g(x)\cdot h'(x)+g'(x)\cdot h(x)\).

In unserem Fall können wir \(g(x)=8x\) und \(h(x)=e^{-0,25x^2}\) setzen und erhalten somit:

\(\begin{align*} f'(x)&=(8x)'\cdot e^{-0,25x^2}+8x\cdot(e^{-0,25x^2})'\\ &=8e^{-0,25x^2}+8x\cdot e^{-0,25x^2}\cdot (-0{,}25\cdot 2x)\text{ (nachdifferenzieren)}\\ &=8e^{-0,25x^2}-4x^2e^{-0{,}25x^2}=(8-4x^2)e^{-0,25x^2} \end{align*}\)

Schritt 3: Nullstellen von f' bestimmen

Der Funktionsterm von \(f'\) liegt schon als Produkt vor. Der 1. Faktor ist \(8-4x^2\) und der 2. Faktor \(e^{-0,25x^2}\). Wie schon erwähnt hat die Exponentialfunktion keine Nullstellen, also auch nicht der 2. Faktor von \(f'\). Suche also Nullstellen des 1. Faktors:

\(\begin{align*} 8-4x^2=0&\Longleftrightarrow 8=4x^2\\ &\Longleftrightarrow 2=x^2\\ &\Longleftrightarrow x\in\left\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\right\} \end{align*}\)

Somit hat \(f'\) genau zwei Nullstellen, nämlich bei \(x=-\sqrt{2}\) und bei \(x=\sqrt{2}\).

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