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Wie du Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmst


Aufgabe

Der Sprung einer Wüstenspringmaus lässt sich durch die Gleichung \(y=-0,5x^2+3x\) beschreiben (\(x \) und \(y\) in \(dm\)).

  1. Bestimme rechnerisch die Nullstellen und den Scheitelpunkt der Parabel.
  2. Zeichne die Parabel für \(0\leq x\leq 6\) in ein geeignetes Koordinatensystem.
  3. Welche größte Höhe kann die Springmaus erreichen?

Schritt 1: Nullstellen bestimmen

Die Nullstellen der Parabel sind die Lösungen der Gleichung

\(y=0\),

wobei \(y=-0,5x^2+3x\) ist.

Die kannst du wie folgt berechnen:


\(\begin{align*} &-0,5x^2+3x=0&&|\ \cdot(-2)\\ &x^2-6x=0&&|\ x\text{ ausklammern}\\ &x(x-6)=0 \end{align*}\)

Daraus kannst du unmittelbar die Lösungen ablesen, denn ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Hier sind die Faktoren \(x\) und \(x-6\), d. h. eine Lösung ist \(x=0\) und die andere ergibt sich aus

\(x-6=0\Longrightarrow x=6\).

Schritt 2: Scheitelpunkt bestimmen

Hierfür gibt es zwei Methoden: entweder über die Nullstellen oder durch Umformung in die Scheitelpunktform.

In diesem Fall ist die erste Methode günstiger, weil die Nullstellen schon bekannt sind.

1. Methode

Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist der Mittelwert der beiden Nullstellen, also

\(x_S=\frac{1}{2}(0+6)=3\).

Die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts ergibt sich durch Einsetzen der \(x\)-Koordinate in die Gleichung

\(y=-0,5x^2+3x\),

d. h.

\(y_S=-0,5x_S^2+3x_S=-0,5\cdot 3^2+3\cdot 3=-4,5+9=4,5\).

Der Scheitelpunkt ist also \(S(x_S|y_S)=S(3|4,5)\).

 

2. Methode

Wenn du die Nullstellen nicht kennst (oder die Funktion keine Nullstellen hat) und du den Scheitelpunkt bestimmen musst, dann musst du die Parabelgleichung in Scheitelpunktform bringen.

Das geht durch quadratische Ergänzung:

\(\begin{align*} &y=-0,5x^2+3x&&|\ 0,5\text{ ausklammern}\\ &y=-0,5(x^2-6x)&&|\text{ quadratisch ergänzen}\\ &y=-0,5(x^2-6x+9-9)&&|\text{ 2. binomische Formel anwenden}\\ &y=-0,5\left((x-3)^2-9\right)&&|\text{ äußere Klammer ausmultiplizieren}\\&y=-0,5(x-\color{green} {3})^2+\color{maroon} {4,5} \end{align*}\)

Das entspricht der Scheitelpunktform, die im Allgemeinen so aussieht:

\(y=a\cdot(x-\color{green} {x_S})^2+\color{maroon} {y_S}\).

Dabei sind \(x_S\) und \(y_S\) die Koordinaten des Scheitelpunkts. In unserem Fall ist also \(\color{green} {x_S=3}\) und \(\color{maroon} {y_S=4,5}\), d. h. der Scheitel hat die Koordinaten \(S(3|4,5)\).

Schritt 3: Parabel zeichnen

Für die Zeichnung gehst du vom Scheitelpunkt aus. In die Zeichnung trägst du also als Erstes den Scheitelpunkt \(S(3|4,5)\) ein.

Weitere Punkte auf dem rechten Ast des Parabelbogens bekommst du wie folgt:

  • Berechne  \(\color{green} {1}^2 \)  und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(-0,5\): das ergibt \(\color{green}{1}^2⋅|-0,5|=\color{maroon} {0,5}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green} {1}\) Einheit nach rechts und \(\color{maroon} {0,5}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.
  • Berechne \( \color{green} {2}^2\) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(-0,5\): das ergibt \(\color{green}{2}^2⋅|-0,5|=\color{maroon} {2}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green} {2}\) Einheiten nach rechts und \(\color{maroon} {2}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.
  • Berechne \( \color{green} {3}^2\) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(-0,5\): das ergibt \(\color{green}{3}^2⋅|-0,5|=\color{maroon} {4,5}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green} {3}\) Einheiten nach rechts und \(\color{maroon} {4,5}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.

Weitere Punkte auf dem linken Ast des Parabelbogens bekommst du wie folgt:

  • Berechne  \(\color{green} {1}^2 \)  und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(-0,5\): das ergibt \(\color{green}{1}^2⋅|-0,5|=\color{maroon} {0,5}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green} {1}\) Einheit nach links und \(\color{maroon} {0,5}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.
  • Berechne \( \color{green} {2}^2\) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(-0,5\): das ergibt \(\color{green}{2}^2⋅|-0,5|=\color{maroon} {2}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green} {2}\) Einheiten nach links und \(\color{maroon} {2}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.
  • Berechne \( \color{green} {3}^2\) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(-0,5\): das ergibt \(\color{green}{3}^2⋅|-0,5|=\color{maroon} {4,5}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green} {3}\) Einheiten nach links und \(\color{maroon} {4,5}\) Einheiten nach unten (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.

Verbinde die gefundenen Punkte wie folgt:

Wie du Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmst - Abbildung 1

Schritt 4: Maximalhöhe berechnen

Anhand der Skizze kannst du erkennen, dass der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel ist. Das kannst du aber auch direkt aus der Gleichung \(y=-0,5x^2+3x\) ablesen, denn der Faktor \(-0,5 \) vor dem \(x^2 \) ist negativ und das bedeutet, dass die Parabel nach unten geöffnet ist. Also ist der Scheitel der höchste Punkt. Dessen Höhe entspricht der \(y\)-Koordinate, also \(y_S=4,5\), wie du auch aus der Zeichnung ablesen kannst.

Diese Höhe musst du noch mit der passenden Einheit versehen: Laut Aufgabenstellung ist der \(y\)-Wert in Dezimeter zu verstehen. Die maximale Sprunghöhe ist also \(4,5\text{ dm}\).

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