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Wie du n-te Wurzeln ziehst


Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:

a) \(x^4 = 81\)

b) \(x^5 = -32\)

Hinweis

Um die n-te Wurzel ohne Taschenrechner ziehen zu können, musst du die wichtigsten Quadratzahlen und Potenzen auswendig können.

Lösungsschritte Teilaufgabe a)

Schritt 1: Ziehe die Wurzel

Um die Gleichung nach x aufzulösen, musst du die 4. Wurzel ziehen.

\(x^4 = 81\)

\(x = \sqrt[4]{81}\)

Um dies ohne Taschenrechner zu schaffen, musst du dir überlegen, welche Potenz die Zahl 81 sein könnte. 81 kannst du zum einen als \(9^2\) schreiben.

\(x = \sqrt[4]{9^2}\)

Zum anderen ist die 9 selbst eine Quadratzahl und kann als \(3^2\) geschrieben werden.

\(x = \sqrt[4]{(3^2)^2}\)

Nach dem 5. Potenzgesetz lässt sich \((3^2)^2\) auch schreiben als \(3^4\).

\(x = \sqrt[4]{3^4}\)

Die 4. Wurzel hebt nun sozusagen die Hochzahl 4 auf und die 3 bleibt übrig.

\(x = 3\)

Schritt 2: Bestimme die Lösungsmenge

Zum Schluss musst du dir noch überlegen, wie viele Lösungen diese Gleichung hat. Dazu gilt: Wenn die Hochzahl der Potenz gerade ist, hat die Gleichung zwei Lösungen: einmal die ganz normal errechnete Zahl und einmal die gleiche Zahl mit negativem Vorzeichen. Da hier die Potenz eine gerade Zahl war, nämlich 4, lautet die Lösungsmenge hier also:

\(\mathbb{L} = \left\{3; -3\right\}\)

Lösungsschritte Teilaufgabe b)

Schritt 1: Ziehe die Wurzel

Um diese Gleichung nach x aufzulösen, musst du die 5. Wurzel ziehen.

Beachte: Wenn du aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen willst, geht das nur bei ungeradzahligen Wurzeln wie der 5. Wurzel hier. Wenn die Hochzahl der Potenz gerade wäre, dann ginge das nicht. Die Lösungsmenge wäre dann die leere Menge.

Das Minuszeichen schreibst du vor die Wurzel.

\(x^5 = -32\)

\(x = - \sqrt[5]{32}\)

Um diese Wurzel ohne Taschenrechner ziehen zu können, musst du wieder überlegen, durch welche Potenz man die Zahl 32 scheiben kann. 32 kannst du umschreiben als \(2^5\).

\(x = - \sqrt[5]{2^5}\)

Die 5. Wurzel hebt sich jetzt wieder mit der Hochzahl 5 auf und die 2 sowie das negative Vorzeichen bleiben übrig.

\(x = -2\)

Schritt 2: Bestimme die Lösungsmenge 

Nun musst du noch die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmen. Beachte dabei: Gleichungen mit einer ungeraden Hochzahl haben nur eine einzige Lösung. Also lautet die Lösungsmenge hier:

\(\mathbb{L} = \left\{-2\right\}\)

Lösung

Teilaufgabe a): \(\mathbb{L} = \left\{3; -3 \right\}\)

Teilaufgabe b): \(\mathbb{L} = \left\{-2 \right\}\)

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