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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Monotonie untersuchst

Aufgabe

Es sei \(h\) die Funktion mit der Gleichung \(h(x)=e^x-x,\,x\in\mathbb{R}\).

Beweise: Im Intervall \( ]0,\infty[\) ist die Funktion \(h\) streng monoton steigend und es gilt \(h(x)\geq 1\) für alle \(x\geq 0\).

Schritt 1: Funktion ableiten

Monotonieverhalten heißt Verlauf der Steigung. Da die Steigung durch die Ableitung der Funktion gegeben ist, musst du diese erst mal bestimmen. Hier ist \(h(x)=e^x-x\) eine Differenz aus zwei einfachen Funktionen, deren Ableitungen du kennen musst: Die Exponentialfunktion \(x\longmapsto e^x\) ist ihre eigene Ableitung und die Ableitung von \(x\longmapsto x\) ist konstant 1. Somit ist

\(h'(x)=e^x-1\).

Schritt 2: Vorzeichentabelle der Ableitung erstellen und interpretieren

Jetzt musst du herausfinden, wann diese Ableitung positiv, negativ oder null wird. Das Vorzeichen kann \(h'\) nur bei einer Nullstelle wechseln. Also bestimmst du als Nächstes die Nullstellen von \(h'\).

Nullstellen der Ableitung bestimmen

Nullstellen von \(h'\) bestimmen heißt, Lösungen der Gleichung \(h'(x)=0\) zu finden.

\(h'(x)=e^x-1=0\)

\(|+1\)

\(e^x=1\)

logarithmieren

\(x=\ln(1)=0\)

 

Es gibt also genau eine Nullstelle von \(h'\), nämlich bei \(x=0\).

Vorzeichen rechts und links von den Nullstellen ermitteln

Die Nullstellen einer Funktion teilen die reelle Zahlengerade in mehrere Bereiche. In unserem Fall gibt es nur eine Nullstelle und somit nur zwei Bereiche, nämlich links von der Nullstelle (\(x<0\)) und rechts von der Nullstelle (\(x>0\)). Als Nächstes musst du das Vorzeichen von \(h'\) in diesen Bereichen ermitteln.

Zuerst der Bereich \(x>0\):

Wegen \(e\approx 2{,}718>1\) ist \(e^x\) größer als eins, wenn \(x\) positiv ist. Dementsprechend ist \(e^x-1>0\), das heißt, \(h'(x)\) ist positiv.

Nun zum Bereich \(x<0\):

Hier ist \(y=-x>0\) und wie oben bemerkt ist dann \(e^y\) größer als eins. Damit ist aber \(e^x=e^{-y}=\frac{1}{e^y}\) kleiner als eins, denn der Nenner ist ja größer als eins. Wenn aber \(e^x\) kleiner als eins ist, dann ist \(e^x-1<0\), das heißt, \(h'(x)\) ist in diesem Bereich negativ.

Rückschlüsse auf den Verlauf von \(G_h\) ziehen

Im Bereich \(x<0\) ist \(h'(x)\) negativ, also die Funktion \(h\) streng monoton fallend. Für \(x>0\) ist \(h'(x)\) positiv, also \(h\) streng monoton wachsend. Bei \(x=0\) ist \(h'(x)=0\), das heißt, \(h\) hat dort eine waagerechte Tangente. Diese Informationen lassen sich wie folgt in einer Tabelle zusammenfassen:

Wie du Monotonie untersuchst - Abbildung 1

Du erkennst anhand dieser Darstellung, dass \(G_h\) an der Stelle \(x=0\) ein lokales Minimum hat. Links davon ist \(h\) streng monoton fallend und rechts davon streng monoton steigend.

Damit ist die Aufgabe gelöst, bis aus auf die Aussage, dass \(h(x)\geq 1\) für alle \(x\geq 0\) gilt. Dazu bemerken wir zunächst, dass \(h(0)=e^0-0=1\) ist. Für \(x=0\) ist also die Ungleichung \(h(x)\geq 1 \) erfüllt und es bleibt zu zeigen, dass die Ungleichung auch für alle \(x>0\) gilt. Da aber \(h\) für \(x>0\) streng monoton wachsend ist, folgt aus \(x>0\) die Ungleichung \(h(x)>h(0)\) und \(h(0)\) ist ja 1. Somit ist also die Ungleichung \(h(x)\geq 1\) auch für \(x>0\) erfüllt.

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