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Wie du mithilfe von Vektoren Winkel im Raum berechnest


Aufgabe

Die Punkte A(1|3|0), B(−2|5|4) und C(4|2|5) bilden ein Dreieck. Bestimme auf ganze Grad gerundet die Größe des Winkels \(\alpha\).

Schritt 1: Zeichne eine Skizze

Damit du dir die Lage des Winkels \(\alpha\) besser vorstellen kannst, zeichne ein beliebiges Dreieck ABC, in dem du den Winkel einzeichnest.

Wie du mithilfe von Vektoren Winkel im Raum berechnest - Abbildung 1

Da du den Winkel mithilfe von Vektoren ausrechnest, überlege dir, zwischen welchen Vektoren der Winkel liegt. Hier sind es die Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\).

Wie du mithilfe von Vektoren Winkel im Raum berechnest - Abbildung 2

Schritt 2: Verwende die Formel für die Winkelberechnung

Den Winkel \(\gamma\) zwischen zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) kann man mit folgender Formel berechnen:
\(cos \gamma=\frac{\overrightarrow{a}\ \circ\ \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\ \cdot\ |\overrightarrow{b}|} \)

Auf diese Aufgabe angewandt ergibt sich:
\(cos \alpha=\frac{\overrightarrow{AB}\ \circ\ \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\ \cdot\ |\overrightarrow{AC}|} \)

Schritt 3: Berechne die Vektoren, zwischen denen der Winkel liegt

Um die Formel anwenden zu können, brauchst du zuerst die Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\4\end{array}\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\5\end{array}\right)\)

Schritt 4: Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren

In der Formel steht im Zähler das Skalarprodukt der Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\). Dies berechnest du zuerst.

\(\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\4\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\5\end{array}\right)=-9+(-2)+20=9\)

Schritt 5: Berechne die Beträge der beiden Vektoren

Im Nenner der Formel stehen die Beträge der beiden Vektoren. Diese berechnest du am besten auch extra.

\(|\overrightarrow{AB}|=\left|\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\4\end{array}\right)\right|=\sqrt{(-3)^2+2^2+4^2}=\sqrt{29}\)

\(|\overrightarrow{AC}|=\left|\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\5\end{array}\right)\right|=\sqrt{3^2+(-1)^2+5^2}=\sqrt{35}\)

Schritt 6: Berechne den Winkel

Jetzt kannst du den Wert des Skalarprodukts und die Beträge in die Formel einsetzen:
\(cos \alpha=\frac{9}{\sqrt{29}\ \cdot\ \sqrt{35}} \)
und die rechte Seite mit dem Taschenrechner berechnen. Es ergibt sich gerundet:
\(cos \alpha=0,2825\)

Um diese Gleichung nach \(\alpha\) aufzulösen, musst du den \(cos^{-1}\) auf beiden Seiten der Gleichung anwenden. Dies bewirkt, dass der Kosinus auf der linken Seite der Gleichung wegfällt. Du erhältst:

\( \alpha=cos^{-1}0,2825\)

Auch dies kannst du mit dem Taschenrechner berechnen. Es ergibt sich:

\( \alpha=73,59^°\)

Beziehungsweise auf ganze Grad gerundet:

\( \alpha=74^°\)

Lösung

Der Winkel \(\alpha\) ist auf ganze Grad gerundet 74° groß.

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