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Wie du mithilfe von Vektoren Figuren bestimmst


Aufgabe

Untersuche, ob die Punkte A(1|2|3), B(2|4|5), C(4|3|7) und D(3|1|5) eine Raute bilden.

Hinweis

Eine Raute ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

Schritt 1: Überprüfe, ob die Punkte ein Parallelogramm bilden

Bei einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel. Damit müssen auch die Vektoren, die von den Seiten gebildet werden, gleich sein.

Wie du mithilfe von Vektoren Figuren bestimmst - Abbildung 1

Bei dieser Zeichnung gilt zum Beispiel: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) und \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\).

Wenn bei einem Viereck zwei Seiten gleich lang und parallel sind, sind es automatisch auch die anderen zwei Seiten. Damit reicht es zu überprüfen, ob \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) ist.

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\2\end{array}\right)\)

\(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\2\end{array}\right)\)

DIe beiden Vektoren sind gleich, deshalb bilden die Punkte schon mal ein Parallelogramm.

Schritt 2: Überprüfe, ob die Seiten gleich lang sind

Da bei einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten immer gleich lang sind, reicht es zu überprüfen, ob zwei nicht parallele Seiten gleich lang sind. Zum Beispiel die Seiten AB und BC.

Wie du mithilfe von Vektoren Figuren bestimmst - Abbildung 2

Um die Längen der Seiten zu berechnen, berechnest du die Beträge der zugehörigen Vektoren.

\(|\overrightarrow{AB}| =\left|\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\2\end{array}\right)\right|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3\)

\(|\overrightarrow{BC}| =|\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B}|=\left|\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\5\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c} 2\\ -1\\ 2\end{array}\right)\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3\)

Da die Seiten AB und BC gleich lang sind, sind alle Seiten gleich lang. Damit ist das Viereck ABCD eine Raute.

Lösung

Die Punkte A, B, C und D bilden eine Raute.

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