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Wie du mithilfe von Sinus und Kosinus fehlende Teile von rechtwinkligen Dreiecken berechnest


Aufgabe

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit einem rechten Winkel bei B, \(\alpha=44^°\) und \(a = 4,5\ cm\). Berechne mithilfe von Kosinus und Sinus die fehlenden Größen des Dreiecks.

Schritt 1: Erstelle eine Planfigur des Dreiecks

Zu Beginn einer Aufgabe wie dieser erstellst du eine Planfigur zu dem gegebenen Dreieck. Damit hast du stets einen Überblick darüber, welche Seiten Katheten sind und welche Seite die Hypotenuse deines Dreiecks ist. Damit du das von deiner Planfigur ablesen kannst, solltest du den rechten Winkel auch wirklich als rechten Winkel einzeichnen. Er wird üblicherweise durch einen Punkt gekennzeichnet.

Wie du mithilfe von Sinus und Kosinus fehlende Teile von rechtwinkligen Dreiecken berechnest - Abbildung 1

Da der rechte Winkel bei Punkt B liegt, ist die Seite b die Hypotenuse des Dreiecks. Die Dreiecksseiten a und c sind Katheten.

Schritt 2: Markiere gegebene Größen

Nun markierst du in deiner Planfigur gegebene Seiten und Winkel. Das kannst du z. B. tun, indem du sie farbig nachzeichnest. Der rechte Winkel ist immer eine Größe, die bereits bekannt ist, der Winkel \(\beta\) beträgt in deinem Dreieck also 90°. Außerdem kennst du die Länge der Seite a und die Größe des Winkels \(\alpha\). Dein Dreieck hat also bisher drei bekannte Größen und deine Planfigur sieht mit Markierungen dann so aus:

Wie du mithilfe von Sinus und Kosinus fehlende Teile von rechtwinkligen Dreiecken berechnest - Abbildung 2

Schritt 3: Identifiziere zum gegebenen Winkel An- und Gegenkathete

In dieser Aufgabe ist neben dem rechten Winkel \(\beta\) der Winkel \(\alpha\) gegeben. Die Ankathete des Winkels \(\alpha\) ist c, da dies die Kathete ist, die an \(\alpha\) anliegt. Die Gegenkathete von \(\alpha\) ist a, da sie die Kathete ist, die \(\alpha\) gegenüberliegt. Das kannst du dir noch einmal an deiner Planfigur verdeutlichen:

Wie du mithilfe von Sinus und Kosinus fehlende Teile von rechtwinkligen Dreiecken berechnest - Abbildung 3

Gesuchte Größen sind nun also noch der Winkel \(\gamma\) und die Dreiecksseiten b und c, also die Hypotenuse und die Ankathete von \(\alpha\).

Schritt 4: Setze gegebene Werte  in die Winkelfunktionen ein und rechne aus

Du kannst zum Beispiel mit der Berechnung von b beginnen, indem du die Sinusfunktion für \(\alpha\) verwendest.

Die Sinusfunktion für \(\alpha\) lautet:

\(\sin(\alpha) = \frac{\mbox{Gegenkathete von $\alpha$}}{\mbox{Hypotenuse}}\), also:

\(\sin(\alpha) = \frac{\mbox{a}}{\mbox{b}}\)

Stelle die Gleichung nach deiner gesuchten Größe um, hier also nach b:

\(\sin(\alpha)\cdot \text{b = a}\)

\(\text{b}=\frac{\mbox{a}}{\sin(\alpha)}\)

Einsetzen ergibt dann:

\(\text{b}=\frac{4,5}{\sin(44^°)}\ cm\), also:

\(\text{b} \approx 6,48\ cm\)

Da du bei deinen Rechnungen in der Regel einen Taschenrechner benutzt und die Ergebnisse für die Winkelfunktionen und Dreiecksseiten oft Dezimalzahlen mit vielen Stellen hinter dem Komma sind, solltest du während deiner Rechnung Zwischenergebnisse möglichst vermeiden (bzw. sie im Taschenrechner speichern) und nur das Endergebnis runden. Benutze ein Ungefährzeichen (\(\approx\)) statt eines Gleichheitszeichens, sobald du ein gerundetes Ergebnis angibst.

Nach deiner Rechnung kannst du auch b in deiner Planfigur als bekannt markieren und nun bei weiteren Rechnungen benutzen.

Wie du mithilfe von Sinus und Kosinus fehlende Teile von rechtwinkligen Dreiecken berechnest - Abbildung 4

Unter Verwendung von b kannst du mit der Kosinusfunktion nun direkt die Länge der Dreiecksseite c berechnen, denn c ist die Ankathete des Winkels \(\alpha\).

Die Kosinusfunktion lautet:

\(\cos(\alpha) = \frac{\mbox{Ankathete von $\alpha$}}{\mbox{Hypotenuse}}\), also:

\(\cos(\alpha) = \frac{\mbox{c}}{\mbox{b}}\)

Stelle die Gleichung wieder nach deiner gesuchten Größeum, also jetzt c:

\(\cos(\alpha)\cdot \text{b = c}\)

Einsetzen ergibt dann:

\(\cos(44^°)\cdot6,48\ cm\approx\text{c}\), also:

\(\text{c}\approx4,66\ cm\)

Den verbleibenden Winkel \(\gamma\) berechnest du am besten über die Zuhilfenahme der Tatsache, dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt.

\(\alpha+\beta+\gamma=180^°\)

Einsetzen liefert:

\(44^°+90^°+\gamma=180^°\), also:

\(\gamma=46^°\)

Lösung

Die fehlenden Größen des Dreiecks sind \(\gamma=46^°\)\(\text{b}\approx6,48\ cm\) und \(\text{c}\approx4,66\ cm\).

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