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Wie du mithilfe der Kongruenzsätze überprüfst, ob Dreiecke eindeutig zu konstruieren sind


Aufgabe

Sind die folgenden Dreiecke ABC eindeutig konstruierbar?

  1. a = 6 cm; b = 5 cm; c = 7 cm
  2. \(\alpha\) = 45°; \(\beta\) = 83°; \(\gamma\) = 52°
  3. c = 4 cm; b = 8 cm; \(\alpha\) = 30°
  4. \(\alpha\) = 85°; \(\beta\) = 105°; c = 5 cm

Hinweis

Erstelle dir zunächst eine Planfigur eines allgemeinen Dreiecks. So kannst du schnell sehen, welche Größen des Dreiecks gegeben sind.

Wie du mithilfe der Kongruenzsätze überprüfst, ob Dreiecke eindeutig zu konstruieren sind - Abbildung 1

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a = 6 cm; b = 5 cm; c = 7 cm

Schritt 1: Liste die Kongruenzsätze auf

Als Erstes schreibst du alle vier Kongruenzsätze auf. So kannst du anschließend jeden nacheinander durchgehen und überprüfen, ob einer passt.

  • SSS: Drei Seiten sind gegeben.
  • WSW: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel sind gegeben.
  • SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben.
  • SSW: Zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel sind gegeben.

Schritt 2: Überprüfe, ob ein Kongruenzsatz gültig ist

Hier sind drei Seiten gegeben. Laut dem Kongruenzsatz SSS ist das Dreieck eindeutig konstruierbar.

Schritt 3: Überprüfe die Dreiecksungleichungen

Jetzt musst du noch überprüfen, ob die Dreiecksungleichungen erfüllt sind.

a + b > c

a + c > b

b + c > a

Das ist hier der Fall. Das Dreieck ist konstruierbar.

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

\(\alpha\) = 45°; \(\beta\) = 83°; \(\gamma\) = 52°

Schritt 1: Liste die Kongruenzsätze auf

Als Erstes schreibst du alle vier Kongruenzsätze auf. So kannst du anschließend jeden nacheinander durchgehen und überprüfen, ob einer passt.

  • SSS: Drei Seiten sind gegeben.
  • WSW: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel sind gegeben.
  • SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben.
  • SSW: Zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel sind gegeben.

Schritt 2: Überprüfe, ob ein Kongruenzsatz gültig ist

Hier sind drei Winkel gegeben. Dazu gibt es keinen passenden Kongruenzsatz. Das Dreieck ist also nicht eindeutig konstruierbar.

Lösungsschritte für Teilaufgabe c)

c = 4 cm; b = 8 cm; \(\alpha\) = 30°

Schritt 1: Liste die Kongruenzsätze auf

Als Erstes schreibst du alle vier Kongruenzsätze auf. So kannst du anschließend jeden nacheinander durchgehen und überprüfen, ob einer passt.

  • SSS: Drei Seiten sind gegeben.
  • WSW: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel sind gegeben.
  • SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben.
  • SSW: Zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel sind gegeben.

Schritt 2: Überprüfe, ob ein Kongruenzsatz gültig ist

Hier sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben. Laut dem Kongruenzsatz SWS ist das Dreieck eindeutig konstruierbar.

Lösungsschritte für Teilaufgabe d)

\(\alpha\) = 85°; \(\beta\) = 105°; c = 5 cm

Schritt 1: Liste die Kongruenzsätze auf

Als Erstes schreibst du alle vier Kongruenzsätze auf. So kannst du anschließend jeden nacheinander durchgehen und überprüfen, ob einer passt.

  • SSS: Drei Seiten sind gegeben.
  • WSW: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel sind gegeben.
  • SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben.
  • SSW: Zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel sind gegeben.

Schritt 2: Überprüfe, ob ein Kongruenzsatz gültig ist

Hier sind eine Seite und die zwei angrenzenden Winkel gegeben. Laut dem Kongruenzsatz WSW ist das Dreieck eindeutig konstruierbar.

Schritt 3: Überprüfe die Innenwinkelsumme

Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt immer 180°. Wenn zwei Winkel gegeben sind, musst du also noch überprüfen, ob deren Summe kleiner als 180° ist. Wären zwei Winkel gemeinsam schon größer, ist das Dreieck nicht konstruierbar. Und genau das ist hier der Fall:

\(\alpha + \beta = 85^° +105^° = 190^°\)

Das Dreieck ist also nicht konstruierbar.

Lösung

  1. Das Dreieck ist nach dem Kongruenzsatz SSS eindeutig konstruierbar, da die Seiten auch die Dreiecksungleichungen erfüllen.
  2. Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
  3. Das Dreieck ist nach dem Kongruenzsatz SWS eindeutig konstruierbar.
  4. Das Dreieck ist nicht konstruierbar, da die Innenwinkelsumme in diesem Fall über 180° liegen würde.
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