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Wie du mithilfe der Kongruenzsätze Dreiecke auf Kongruenz überprüfst


Aufgabe

Es sind jeweils 3 Größen der Dreiecke ABC und A’B’C’ gegeben. Entscheide, ob die Dreiecke kongruent zueinander sind. Gib jeweils den passenden Kongruenzsatz an.

  1. a = 3 cm, b = 4 cm, \(\gamma = 60^°\); a’ = 4 cm, c’ = 3 cm, \( \beta' = 60^°\)
  2. a = 4 cm, b = 4 cm, c = 1 cm; a’ = 4 cm, b’ = 1 cm, c’ = 4 cm
  3. c = 3 cm, \(\alpha=55^°\)\(\beta=55^°\); b = 3 cm, \(\alpha'=55^°\), \(\gamma'=55^°\)

Hinweis

Erstelle dir zunächst Planfiguren der beiden Dreiecke ABC und A’B’C’. So kannst du schnell sehen, welche Größen des Dreiecks gegeben sind.

1. ABC

Wie du mithilfe der Kongruenzsätze Dreiecke auf Kongruenz überprüfst - Abbildung 1

2. A’B’C’

Wie du mithilfe der Kongruenzsätze Dreiecke auf Kongruenz überprüfst - Abbildung 2

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a = 3 cm, b = 4 cm, \(\gamma = 60^°\); a’ = 4 cm, c’ = 3 cm, \( \beta = 60^°\)

Schritt 1: Liste die Kongruenzsätze auf

Als Erstes schreibst du alle vier Kongruenzsätze auf. So kannst du anschließend jeden nacheinander durchgehen und überprüfen, ob einer passt.

  • SSS: Drei Seiten stimmen überein.
  • WSW: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel stimmen überein.
  • SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.
  • SSW: Zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel stimmen überein.

Schritt 2: Beschreibe ABC und A’B’C’

Dreieck ABC: Winkel 60° wird von einer 3 cm und einer 4 cm langen Seite eingeschlossen.

Dreieck A’B’C’: Winkel 60° wird von einer 3 cm und einer 4 cm langen Seite eingeschlossen.

Schritt 3: Gib den richtigen Kongruenzsatz an

Bei beiden Dreiecken wird also ein Winkel von 2 Seiten eingeschlossen. Dabei sind Winkel und Seitenlängen gleich groß. Die beiden Dreiecke sind daher kongruent nach dem Kongruenzsatz SWS.

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

a = 4 cm, b = 4 cm, c = 1 cm; a’ = 4 cm, b’ = 1 cm, c’ = 4 cm

Schritt 1: Liste die Kongruenzsätze auf

Als Erstes schreibst du alle vier Kongruenzsätze auf. So kannst du anschließend jeden nacheinander durchgehen und überprüfen, ob einer passt.

  • SSS: Drei Seiten stimmen überein.
  • WSW: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel stimmen überein.
  • SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.
  • SSW: Zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel stimmen überein.

Schritt 2: Beschreibe ABC und A’B’C’

Dreieck ABC: Dreieck hat die Seitenlängen 4 cm, 4 cm und 1 cm.

Dreieck A’B’C’: Dreieck hat die Seitenlängen 4 cm, 1 cm und 4 cm.

Schritt 3: Gib den richtigen Kongruenzsatz an

Bei beiden Dreiecken sind 3 Seitenlängen bekannt, die in ihrer Größe übereinstimmen. Die beiden Dreiecke sind daher kongruent nach dem Kongruenzsatz SSS.

Lösungsschritte für Teilaufgabe c)

c = 3 cm, \(\alpha=55^°\)\(\beta=55^°\); b’ = 3 cm, \(\alpha'=55^°\), \(\gamma'=55^°\)

Schritt 1: Liste die Kongruenzsätze auf

Als Erstes schreibst du alle vier Kongruenzsätze auf. So kannst du anschließend jeden nacheinander durchgehen und überprüfen, ob einer passt.

  • SSS: Drei Seiten stimmen überein.
  • WSW: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel stimmen überein.
  • SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.
  • SSW: Zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel stimmen überein.

Schritt 2: Beschreibe ABC und A’B’C’

Dreieck ABC: Eine Seite beträgt 3 cm. Die beiden anliegenden Winkel betragen jeweils 55°.

Dreieck A’B’C’: Eine Seite beträgt 3 cm. Die beiden anliegenden Winkel betragen jeweils 55°.

Schritt 3: Gib den richtigen Kongruenzsatz an

Bei beiden Dreiecken sind eine Seite und die zwei anliegenden Winkel gleich groß. Die beiden Dreiecke sind daher kongruent nach dem Kongruenzsatz WSW.

Lösung

  1. Die Dreiecke sind kongruent, da sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS).
  2. Die Dreiecke sind kongruent, da sie in drei Seiten übereinstimmen (SSS).
  3. Die Dreiecke sind kongruent, da sie in einer Seiten und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW).
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