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Wie du mit dem Satz des Thales fehlende Winkel oder Seitenlängen von Figuren berechnest


Aufgabe

  1. Berechne alle Winkel, wenn \(\alpha\) = 30° beträgt.
  2. Berechne den Abstand von M zu D, wenn M der Mittelpunkt der Diagonale f und f = 8 cm lang ist. Der Winkel \(\delta\) bei D beträgt 90°.

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) Berechne alle Winkel, wenn \(\alpha\) = 30° beträgt.

Schritt 1: Berechne die Innenwinkel des Teildreiecks AMC

Zuerst benutzt du die Tatsache, dass die Strecken [AM] und [MC] gleich lang sind, da sie beide Radien des Kreises sind. Das Dreieck AMC ist damit gleichschenklig. Bei gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich groß.

\(\gamma_1=\alpha = 30^°\)

Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°. Das heißt:

\(\alpha + \gamma_1+ \delta = 180^°\)

Und da \(\gamma_1=\alpha\) ist:

\(2\alpha + \delta = 180^°\)

Umstellen nach \(\delta \):

\(\delta = 180^° - 2\alpha = 120^°\)

Schritt 2: Berechne die Innenwinkel des Teildreiecks MBC

Da sich der Punkt C auf dem Thaleskreis befindet, muss \(\gamma_1 + \gamma_2 = 90^°\) betragen. Das bedeutet:

\(\gamma_2 = 90^° - \gamma_1\)

Du weißt, dass \(\gamma_1=30^°\), also:

\(\gamma_2 = 90^° - 30^° = 60^°\)

Da auch MBC ein gleichschenkliges Dreieck ist, gilt:

\(\gamma_2 = \beta=60^°\)

Und wegen der Innenwinkelsumme des Dreiecks:

\(\epsilon=180^°-2\beta\)

\(\epsilon=180^°-2\cdot60^°=60^°\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Berechne den Abstand von M zu D, wenn M der Mittelpunkt der Diagonale f und f = 8 cm lang ist. Der Winkel \(\delta\) bei D beträgt 90°.

Schritt 1: Berechne die Länge der Strecke [AM]

Die Länge der Strecke [AM] kannst du ganz einfach bestimmen. Da M der Mittelpunkt von f ist, ist [AM] genau die Hälfte der Diagonale.

[AM] = 4 cm

Schritt 2: Berechne [MD]

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Winkel bei D 90° beträgt. Das bedeutet, dass der Thaleskreis über [AC] durch den Punkt D verläuft. Durch die Strecke [MD] entstehen nun zwei Teildreiecke, die jeweils gleichschenklig sind. Das kommt daher, dass [MD] ebenso wie [AM] und [MC] den Radius des Thaleskreises darstellen. Das bedeutet, dass [MD] = [AM] ist. Also:

[MD] = [AM] = 4 cm

Lösung

a)

\(\alpha= 30^°\)

\(\gamma_1=30^°\)

\(\delta=120^°\)

\(\gamma_2=60^°\)

\(\beta=60^°\)

\(\epsilon=60^°\)

b)

[MD] = 4 cm

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