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Wie du mit Bruchtermen rechnest


Aufgabe

Fasse die folgenden Bruchterme so weit wie möglich zusammen:

a)  \(\frac {4x}{3}\cdot\frac{2\ -\ x}{x^2}\)

b) \(\frac {8x}{5}:\frac{2}{3x^3}\)

c) \(\frac {x}{x\ +\ 1}+\frac{2\ -\ x}{x^2}\)

d) \(\frac {12}{3x}-\frac{x\ +\ 4}{x\ +\ 1}\)

Das musst du wissen

Die beiden wichtigsten Begriffe, die du beim Rechnen mit Brüchen kennen solltest, sind Erweitern und Kürzen.

Erweitern = Multiplizieren des Zählers und des Nenners mit dem gleichen Wert. Also z. B.:

\(\frac {x}{2}= \frac{\color{red} 3\ \cdot\ x}{\color{red} 3\ \cdot\ 2} =\frac {3x}{6}\)

Kürzen = Dividieren des Zählers und des Nenners durch den gleichen Wert. Also z. B.:

\(\frac {10}{5x}= \frac{ 10\ :\ \color{red} 5}{5x\ :\ \color{red} 5} =\frac {2}{x}\)

Gerade bei Bruchtermen gibt es noch eine wichtige Regel: Kürze niemals aus Summen oder Differenzen, außer der Faktor kommt in allen Summanden, Subtrahenden oder Minuenden vor.

Folgende Rechnung ist deshalb falsch:

\(\frac {10}{5x\ +\ 2}= \frac{10\ :\ \color{red} 5}{5x\ :\ \color{red} 5\ +\ 2}\)

Auch \(+2\) müsste durch \(5\) gekürzt werden (was nicht geht). Der Bruch kann also nicht gekürzt werden.

Anders in diesem Fall:

\(\frac {10}{5x\ +\ 15}= \frac{10\ :\ \color{red} 5}{5x\ :\ \color{red} 5\ +\ 15\ :\ 5} =\frac{2}{x\ +\ 3}\)

Jeder Summand, Subtrahend und Minuend muss gekürzt werden.

Jetzt kannst du auch schon loslegen.

Lösungsschritte zu Teilaufgabe a

\(\frac {4x}{3}\cdot\frac{2\ -\ x}{x^2}\)

Schritt 1: Multipliziere jeweils Zähler und Nenner

Beim Rechnen mit Brüchen ist die Multiplikation die einfachste Rechenart. Um zwei Brüche zu multiplizieren, schreibst du die beiden Brüche einfach auf einen gemeinsamen Bruchstrich.

\(\frac {4x}{3}\cdot\frac{2\ -\ x}{x^2}=\frac {4x\ \cdot\ (2\ -\ x)}{3\ \cdot\ x^2}\)

Dann multiplizierst du den Zähler des 1. Bruchs mit dem Zähler des 2. Bruchs und den Nenner des 1. mit dem Nenner des 2. Achte dabei darauf, eine Klammer zu setzen.

\(\frac {4x\ \cdot\ (2\ -\ x)}{3\ \cdot\ x^2}=\frac {8x\ -\ 4x^2}{3x^2}\)

Schritt 2: Prüfe, ob du den Bruchterm kürzen kannst

Normalerweise kürzt man einen Bruch immer so weit wie möglich. Schau dir den eben berechneten Bruch genau an.

\(\frac {8x\ -\ 4x^2}{3x^2}\)

Kannst du einen Faktor finden, der in allen Gliedern vorkommt? Richtig, jedes der Glieder hat mindestens einmal den Faktor \(x\).

\(\frac {8\color{red}x\ -\ 4\color{red}x^2}{3\color{red}x^2}\)

Wenn du Zähler und Nenner durch \(x\) teilst, erhältst du:

\(\frac {8\color{red}x\ -\ 4\color{red}x^2}{3\color{red}x^2} = \frac {8\ -\ 4x}{3x}\)

Jetzt kannst du nicht mehr kürzen. Du bist also fertig mit dieser Aufgabe.

Lösungsschritte zu Teilaufgabe b

\(\frac {8x}{5}:\frac{2}{3x^3}\)

Schritt 1: Bilde den Kehrbruch

Eine Division durch einen Bruchterm ist das Gleiche wie die Multiplikation mit dem Kehrbruch des Bruchterms. Das heißt:

\(\frac {8x}{5}:\frac{2}{3x^3}=\frac {8x}{5}\cdot\frac{3x^3}{2}\)

Jetzt kannst du wie bei der Multiplikation weitermachen.

Schritt 2: Multipliziere jeweils Zähler und Nenner

Zunächst wieder beide Bruchterme auf einem Bruchstrich zusammenfassen.

\(\frac {8x}{5}\cdot\frac{3x^3}{2} = \frac {8x\ \cdot\ 3x^3}{5\ \cdot\ 2}\)

Und nun Zähler und Nenner jeweils multiplizieren.

\(\frac {24x^4}{10}\)

Schritt 3: Prüfe, ob du den Bruchterm kürzen kannst

\(\frac {24x^4}{10}\)

In diesem Fall kannst du Zähler und Nenner jeweils durch 2 teilen.

\(\frac {24x^4}{10} = \frac {12x^4}{5}=\frac {12}{5}x^4\)

Damit bist du schon wieder beim Ergebnis.

Lösungsschritte zu Teilaufgabe c

\(\frac {x}{x\ +\ 1}+\frac{2\ -\ x}{x^2}\)

Schritt 1: Suche den kleinsten gemeinsamen Nenner und erweitere

Wie du weißt, müssen zwei Brüche den gleichen Nenner haben, damit du sie addieren darfst. Das gilt auch für Bruchterme. Wenn du dir die Terme noch einmal anschaust, siehst du schnell, dass die beiden Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben. Deshalb ist der kleinste gemeinsame Nenner das Produkt der beiden Nenner. Also:

\(\color{blue}{ (x+1)}\cdot\color{red}{x^2}\)

Achte wieder auf die Klammer, denn sonst stimmt später dein Ergebnis nicht.

Damit beide Bruchterme diesen Nenner haben, musst du sie jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchterms erweitern. Für den 1. Bruchterm sieht das so aus:

\(\frac {x}{x\ +\ 1} = \frac {x\ \cdot\ \color{red}{x^2}}{(x\ +\ 1)\ \cdot\ \color{red}{x^2}}= \frac {x^3}{x^3\ +\ x^2}\)

Und für den 2. Bruchterm:

\(\frac{2\ -\ x}{x^2}=\frac{(2\ -\ x)\ \cdot\ \color{blue}{(x\ +\ 1)}}{x^2\ \cdot\ \color{blue}{(x\ +\ 1)}} = \frac{(2\ -\ x)(x\ +\ 1)}{x^3\ +\ x^2}=\frac{2x\ +\ 2\ -\ x^2\ -\ x}{ x^3\ +\ x^2}\)

Und auch hier sind die Klammern wieder wichtig.

Du kannst den Zähler noch etwas vereinfachen.

\(\frac{2x\ +\ 2\ -\ x^2\ -\ x}{x^3\ +\ x^2}=\frac{-x^2\ +\ x\ +\ 2}{x^3\ +\ x^2}\)

Schritt 2: Rechne die Bruchterme aus

Die Rechnung sieht bisher also so aus:

\(\frac {x^3}{x^3\ +\ x^2} + \frac{-x^2\ +\ x\ +\ 2}{x^3\ +\ x^2}\)

Schreibe nun alles auf einen Bruchstrich.

\(\frac {x^3}{x^3\ +\ x^2} + \frac{-x^2\ +\ x\ +\ 2}{ x^3\ +\ x^2}= \frac {x^3\ +\ (-x^2\ +\ x\ +\ 2)}{x^3\ +\ x^2}\)

Jetzt rechne den Zähler aus.

\(\frac {x^3\ -\ x^2\ +\ x\ +\ 2}{x^3\ +\ x^2}\)

Schritt 3: Prüfe, ob du den Bruchterm kürzen kannst

Diesen Bruchterm kannst du nicht kürzen. Du bist fertig.

Lösungsschritte zu Teilaufgabe d

\(\frac {12}{3x}-\frac{x\ +\ 4}{x\ +\ 1}\)

Schritt 1: Suche den kleinsten gemeinsamen Nenner und erweitere

Das Vorgehen bei der Subtraktion ist genauso wie bei der Addition. Du fängst damit an, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu suchen. Auch hier ist er das Produkt der beiden Nenner.

\(\color{blue}{ 3x}\cdot\color{red}{(x+1)}\)

Also wird der 1. Bruchterm zu:

\(\frac {12}{3x}= \frac {12\ \cdot\ \color{red}{(x\ +\ 1)}}{3x\ \cdot\ \color{red}{(x\ +\ 1)}}= \frac {12x\ +\ 12}{3x^2\ +\ 3x}\)

Und der 2. Bruchterm:

\(\frac{x\ +\ 4}{x\ +\ 1}=\frac{x\ +\ 4\ \cdot\ \color{blue}{3x}}{(x\ +\ 1)\ \cdot\ \color{blue}{ 3x}}= \frac{3x^2\ +\ 12x}{3x^2\ +\ 3x}\)

Schritt 2: Rechne die Bruchterme aus

Wenn du jetzt wieder beide Bruchterme auf einen gemeinsamen Bruchstrich schreibst, sieht das wie folgt aus:

\(\frac {12x\ +\ 12}{3x^2\ +\ 3x}-\frac{3x^2\ +\ 12x}{3x^2\ +\ 3x}=\frac{(12x\ +\ 12)\ -\ (3x^2\ +\ 12x)}{3x^2\ +\ 3x}\)

Passe beim Weiterrechnen auf das Minus vor der Klammer auf.

\(\frac{(12x\ +\ 12)\ -\ (3x^2\ +\ 12x)}{3x^2\ +\ 3x}=\frac{12x\ +\ 12\ -\ 3x^2\ -\ 12x}{3x^2\ +\ 3x}\)

\(\frac{12x\ +\ 12\ -\ 3x^2\ -\ 12x}{3x^2\ +\ 3x} = \frac{– 3x^2\ +\ 12}{3x^2\ +\ 3x}\)

Schritt 3: Prüfe, ob du den Bruchterm kürzen kannst

Hier kannst du noch kürzen. Der Faktor 3 kommt in jedem der Summanden vor.

\(\frac{-3x^2\ +\ 12}{3x^2\ +\ 3x}=\frac{-x^2\ +\ 4}{x^2\ +\ x}\)

Lösung

a) \(\frac {4x}{3}\cdot\frac{2\ -\ x}{x^2} = \frac {8\ -\ 4x}{3x}\)

b) \(\frac {8x}{5}:\frac{2}{3x^3} = \frac {12x^4}{5}\)

c) \(\frac {x}{x\ +\ 1}+\frac{2\ -\ x}{x^2} =\frac {x^3\ -\ x^2\ +\ x\ +\ 2}{x^3\ +\ x^2}\)

d) \(\frac {12}{3x}-\frac{x\ +\ 4}{x\ +\ 1}= \frac{-x^2\ +\ 4}{x^2\ +\ x}\)

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