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Wie du lokale Extrema bestimmst (alt)


Aufgabe

Ein Ölfeld wird seit Beginn des Jahres 1990 mit Bohrungen in mehreren Erdöl führenden Schichten erschlossen. Die momentane Förderrate aus diesem Ölfeld im Zeitraum von Anfang 1990 bis Ende 2009 kann im Intervall [0;20] durch die Funktion f mit der Gleichung

\(f(t)=(1020-40t)\cdot e^{0,1\cdot t},t\in\mathbb{R}\)

modelliert werden.

Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr und \(f(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1000 Tonnen pro Jahr aufgefasst. Der Zeitpunkt \(t=0\) entspricht dem Beginn des Jahres 1990. Der Graph von \(f\) ist in der Abbildung 1 in dem für die Modellierung zu betrachtenden Intervall dargestellt.

Wie du lokale Extrema bestimmst (alt) - Abbildung 1

Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt im betrachteten Zeitraum von Anfang 1990 bis Ende 2009, zu dem die Förderrate maximal ist, und berechne den Maximalwert.

[Zur Kontrolle: \(f'(t)=(62-4t)\cdot e^{0,1\cdot t}\)]

 

Schritt 1: Ableitung bestimmen

Zu bestimmen ist zunächst der Zeitpunkt der maximalen Förderrate. Die Förderrate wird durch die Funktion \(f\) modelliert, also ist eine Maximalstelle von \(f\) gesucht. Die restlichen Angaben der Aufgabenstellung sind an dieser Stelle völlig irrelevant.

Gegeben ist die Funktionsgleichung

\(f(t)=(1020-40t)\cdot e^{0,1\cdot t},\,t\in\mathbb{R}\)

und gesucht ist zunächst nur die Maximalstelle. Um diese zu finden, musst du \(f\) ableiten.

\(f\) ist ein Produkt aus der ganzrationalen Funktion (\(1020-40t\)) und der \(e\)-Funktion \(e^{0,1\cdot t}\), also brauchst du die Produktregel zum Ableiten. Sie besagt:

\(f(t)=g(t)\cdot h(t)\Longrightarrow \color{green} {f'(t)=g'(t)\cdot h(t)+g(t)\cdot h'(t)}\)

Um das anzuwenden, brauchst du also \(g'(t)\) und \(h'(t)\). In unserem Fall ist \(g(t)=1020-40t\), also \(g'(t)=-40\). Um \(h(t)=e^{0,1\cdot t}\) abzuleiten, benutzt du die Kettenregel, denn \(h\) ist eine Verkettung aus der Exponentialfunktion und der Funktion \(t\longmapsto 0,1\cdot t\).

Die Kettenregel besagt:

\(F(t)=G(H(t))\Longrightarrow F'(t)=G'(H(t))\cdot H'(t)\)

Hier ist \(F=h\), G ist die Exponentialfunktion und \(H(t)=0,1t\). Die Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung und \(H'(t)=0,1\).

Setzt du das alles in die obige Formel ein, so ergibt sich:

\(h'(t)=e^{H(t)}\cdot H'(t)=0,1e^{0,1\cdot t}\)

Jetzt hast du \(g'\) und \(h'\) bestimmt, die du für die Berechnung von \(f'\) brauchst (siehe grüne Formel). Einsetzen der berechneten Terme in die grüne Formel liefert:

\(f'(t)=-40\cdot e^{0{,}1\cdot t}+(1020-40t)\cdot 0{,}1e^{0{,}1\cdot t}\)

Das solltest du noch vereinfachen, weil du später damit weiterrechnen musst. Den Exponentialterm klammerst du am besten aus und fasst den Rest zusammen:

\(\begin{align*} -40\cdot e^{0,1\cdot t}+(1020-40t)\cdot 0{,}1e^{0,1\cdot t}&=e^{0,1\cdot t}\cdot(-40+102-4t)\\ &=(62-4t)e^{0,1\cdot t} \end{align*}\)

Schritt 2: Nullstellen der Ableitung bestimmen

Die gesuchte Maximalstelle der Funktion \(f\) ist eine Nullstelle der eben bestimmten Ableitungsfunktion. Um also die Maximalstelle zu finden, musst du erst mal die Nullstellen von \(f'\) ausfindig machen. Das geht am schnellsten, wenn du den Funktionsterm von \(f'\) schon möglichst weit vereinfacht hast.

\(f'(t)=(62-4t)e^{0,1\cdot t}\) ist ein Produkt aus der ganzrationalen Funktion \(t\longmapsto 62-4t\) und der \(e\)-Funktion \(t\longmapsto e^{0,1\cdot t}\). Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. Der zweite Faktor \(e^{0,1\cdot t}\) wird nie null, weil die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat. Also sind nur Nullstellen von \(62-4t\) relevant: \(62-4t \Longleftrightarrow 4t=62\Longleftrightarrow t=\frac{62}{4}=15{,}5\).

Somit hat \(f'\) genau eine Nullstelle, und zwar bei \(t=15{,}5\).

Schritt 3: Verhalten der Funktion an diesen Stellen untersuchen

Nullstellen der Ableitung können Maxima, Minima oder Terrassenpunkten des Graphen von \(f\) entsprechen. Um rechnerisch zu prüfen, welcher dieser drei Fälle auf die Stelle \(t=15{,}5\) zutrifft, musst du das Verhalten von \(f\) in der Umgebung von \(t=15{,}5\) untersuchen.

Extrema über Monotonieverhalten oder zweite Ableitung finden

Es gibt zwei Methoden, das Verhalten von \(f\) in der Umgebung von \(t=15{,}5\) zu untersuchen. Eine davon erfordert eine Vorzeichentabelle der Ableitungsfunktion und die andere geht über die zweite Ableitung von \(f\). Wenn der Funktionsterm kompliziert ist, macht das Ableiten mehr Arbeit als die Vorzeichentabelle, ansonsten hält es sich die Waage. Hier führen wir beide Methoden vor.

Mit Vorzeichentabelle

Um das Monotonieverhalten von \(f\) in einer Umgebung von \(t=15{,}5\) zu bestimmen, unterscheidest du drei Bereiche: \(t<15{,}5\), \(t=15{,}5\) und \(t>15{,}5\). In diesen Bereichen musst du feststellen, ob \(f'\) positiv, negativ oder null ist. Zur Erinnerung: \(f'(t)=(62-4t)e^{0,1\cdot t}\).

1. Bereich: \(t<15{,}5\)

Hier ist \(62-4t>0\) und \(e^{0,1\cdot t}\) ist immer größer als null, also ist das Produkt positiv.

2. Bereich: \(t=15{,}5\)

Hier ist \(f'(t)=0\), wie wir in Schritt 2 gesehen haben.

3. Bereich: \(t>15,5\)

Hier ist \(62-4t<0\) und \(e^{0,1\cdot t}\) ist immer größer als null, also ist das Produkt negativ.

Dort, wo \(f'\) negativ ist, fällt die Funktion \(f\) streng monoton und dort, wo \(f'\) positiv ist, wächst \(f\) streng monoton. Diese Informationen kannst du wie folgt in einer Tabelle zusammentragen:

 

\(t<15{,}5\)

\(t=15{,}5\)

\(t>15{,}5\)

\(f'\)

\(-\)

\(+\)

\(G_f\)

\(\searrow\)

\(\nearrow\)

Aus dieser Darstellung kannst du erkennen, dass \(G_f\) bei \(t=15{,}5\) ein lokales Maximum hat.

Mit der zweiten Ableitung

Hier noch die andere Methode zu zeigen, dass bei \(t=15{,}5\) ein Maximum vorliegt. Leite dazu \(f'\) mit der Produktregel ab (analog wie bei \(f\)). Du erhältst:

\(f''(t)=-4e^{0,1\cdot t}+(62-4t)e^{0,1\cdot t}\cdot 0,1=(2,2-0,4t)e^{0,1\cdot t}\)

In diesen Term setzt du den Wert \(t=15,5\) ein. Wenn etwas Negatives herauskommt, dann handelt es sich um eine Maximalstelle von \(f\), wenn etwas Positives herauskommt, dann haben wir eine Minimalstelle, und wenn null herauskommt, dann liefert das keine nützliche Information.

In diesem Fall ist \(f''(15,5)=-4e^{1,55}<0\), also haben wir hier ein Maximum.

Bemerkung

Die Methode mit der 2. Ableitung bietet sich an, wenn die zweite Ableitung für eine andere Teilaufgabe gebraucht wird, z. B. wenn das Krümmungsverhalten zu untersuchen oder ein Wendepunkt zu bestimmen ist.

Funktionswerte an den Extremstellen berechnen

Gefragt war nicht nur die Maximalstelle, sondern auch der Maximalwert, das heißt, du musst noch den Funktionswert von \(f\) an der Stelle \(t=15{,}5\) ermitteln. Einsetzen in den Funktionsterm von \(f\) liefert:

\(f(15{,}5)=(1020-40\cdot 15{,}5)\cdot e^{0,1\cdot 15{,}5}=400e^{1{,}55}\approx 1884{,}1\)

Schließlich musst du deine Lösung in den Sachzusammenhang der Textaufgabe einbetten. Laut Aufgabenstellung entspricht \(t=15{,}5\) dem Zeitpunkt \(15\frac{1}{2}\) Jahre nach dem Beginn des Jahres 1990, also Mitte des Jahres 2005. Der Wert \(f(15{,}5)\approx 1884{,}1\) gibt die momentane Förderrate zu diesem Zeitpunkt an, und zwar in 1000 Tonnen pro Jahr. Somit könnte dein Lösungssatz folgendermaßen lauten:

Die maximale Förderrate im angegebenen Zeitraum beträgt rund 1,88 Millionen Tonnen pro Jahr und wird Mitte des Jahres 2005 erreicht.

Bemerkung

Die Nullstellen der Ableitung sind Kandidaten für lokale Extrema, also Punkte, die innerhalb einer kleinen Umgebung die höchsten bzw. tiefsten sind. Sucht man ein globales Maximum (wie in dieser Aufgabe), so muss man normalerweise berücksichtigen, dass die Werte am Rand des Definitionsbereichs (hier bei \(t=0\) und bei \(t=20\)) maximal sein können, ohne dass hier die Ableitung null wird. In diesem Fall sieht man aber schon anhand der Abbildung, dass die Werte bei \(t=0\) und bei \(t=20\) nicht maximal sind. Sonst müsste man die Funktionswerte an diesen Stellen ausrechnen und mit den Funktionswerten an den Nullstellen der Ableitung vergleichen, um zu sehen, wo das globale Maximum liegt.

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