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Wie du lineare Ungleichungen aufstellst


Aufgabe

Ein Junge (50 kg) steht in einem Aufzug. Vor dem Aufzug drängt sich eine große Gruppe von Männern. Doch auf der Anzeige steht, dass der Aufzug nur mit maximal 490 kg belastet werden darf.
Stelle eine Ungleichung auf, mit der berechnet werden kann, wie viele Männer (durchschnittlich 89 kg) noch einsteigen dürfen, ohne dass der Aufzug überladen ist.

Das musst du wissen

Wenn du verstanden hast, wie du lineare Gleichungen aufstellst, wirst du auch mit linearen Ungleichungen keine Probleme haben. Auch bei diesen Aufgaben hast du meistens einen Text gegeben, aus dem du eine Ungleichung ableiten sollst. Im Unterschied zur linearen Gleichung steht aber nicht \(\color{red}=\) zwischen der linken und der rechten Seite, sondern ein Relationszeichen, also \(<,\ >,\ \leq\) oder \(\geq\).

Schritt 1: Überlege, was gegeben und was gesucht ist

Gegeben ist ...

  • das zulässige Gesamtgewicht des Aufzugs: 490 kg;
  • das Gewicht des Jungen, der schon im Aufzug ist: 50 kg;
  • das durchschnittliche Gewicht der Männer vor dem Aufzug: 89 kg.

Gesucht ist ...

  • die Anzahl Personen, die noch in den Aufzug einsteigen können, ohne den Auszug zu überladen.

⇒ Es gilt also herauszufinden, wie hoch das Gesamtgewicht der Personen im Aufzug ist, je nachdem wie viele Passagiere einsteigen.

Schritt 2: Formuliere die 1. Seite der Ungleichung mit einem Term

Als Erstes musst du den Term aufstellen, mit dem du abhängig von der Anzahl der Passagiere ihr Gesamtgewicht berechnen kannst. Verwende für die Anzahl der Männer beispielsweise die Variable x. Dann lautet der Term:

\(Gesamtgewicht = 50\, kg\, (Gewicht\, des \,Jungen) + x \cdot 89 \,kg\, (Durchschnittsgewicht \,Mann)\)

\(m_{ges} = 50 \,kg + x\cdot89 \, kg\)

Das ist ab jetzt die linke Seite deiner Ungleichung.

Schritt 3: Formuliere die 2. Seite der Ungleichung

In diesem Fall musst du für die rechte Seite der Ungleichung nicht rechnen. Du musst nur im Aufgabentext nachlesen. Dort steht, dass die Maximalbelastung 490 kg beträgt. Damit ist deine rechte Seite:

\(m_{max}= 490 \,kg\)

Schritt 4: Stelle die Ungleichung auf

Da es sich bei der Angabe um eine maximale Belastung handelt, weißt du, dass das Gesamtgewicht der Passagiere kleiner oder gleich der Maximalbelastung sein darf. Somit lautet die Ungleichung:

\(m_{ges} \color{red}\leq m_{max}\)

\(50 \,kg + x\cdot89\, kg\color{red}\leq490\, kg\)

Wie du diese Ungleichung lösen kannst, erfährst du übrigens hier.

Lösung

Mit der linearen Ungleichung \(50\, kg + x\cdot89\, kg \leq 490\, kg\) kannst du herausfinden, wie viele Männer zusätzlich zum Jungen noch in den Aufzug dürfen. Wie du siehst, ist das Vorgehen also fast genauso wie bei linearen Gleichungen. Achte drauf, in welchem Verhältnis die beiden Seiten zueinander stehen, und setze dann das passende Relationszeichen ein.

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