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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Krümmungsverhalten untersuchst

Aufgabe

Der Graph der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \( f:x\longmapsto x\cdot\sin x\) verläuft durch den Koordinatenursprung. Berechne \(f''(0)\) und gib das Krümmungsverhalten des Graphen von \(f\) in unmittelbarer Nähe des Koordinatenursprungs an.

Schritt 1: Zweite Ableitung berechnen

Gegeben ist die Funktionsgleichung \( f(x)=x\cdot\sin x\). Das Krümmungsverhalten des Graphen von \(f\) spiegelt sich im Vorzeichen der zweiten Ableitung f'' wider. Also musst du zunächst \(f\) zweimal ableiten.

Da \(f\) ein Produkt zweier einfacher Funktionen ist, deren Ableitungen du kennen musst, berechnet sich die Ableitung mit der Produktregel, die da lautet:

\(f(x)=g(x)\cdot h(x)\Longrightarrow f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)\).

In unserem Fall ist \(g(x)=x, g'(x)=1, h(x)=\sin x\) und \(h'(x)=\cos x\). Einsetzen dieser vier Terme in die obige Formel für \(f'\) liefert:

\(f'(x)=1\cdot\sin x+x\cdot\cos x=\sin x+x\cdot\cos x\)

Diesen Term müssen wir wieder ableiten, um \(f''\) zu bestimmen:

\(f''(x)=(f')'(x)=\cos x+(x\cdot\cos x)'\),

wobei die Klammer analog zu \(f\) mit der Produktregel abgeleitet wird:

\((x\cdot\cos x)'=1\cdot\cos x+x\cdot (-\sin x)=\cos x-x\sin x\)

Somit ist

\(f''(x)=\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x\), also

\(f''(0)=2\cos(0)-0\cdot\sin(0)=2\)

(denn \(\cos(0)=1\)).

Schritt 2: Vorzeichentabelle erstellen

In jedem Bereich der Definitionsmenge, wo du das Krümmungsverhalten untersuchen musst, brauchst du das Vorzeichen von \(f''\), das heißt, du musst feststellen, ob \(f''\) positiv, negativ oder null ist.

Dazu musst du normalerweise zuerst die Nullstellen bestimmen und in den Bereichen zwischen den Nullstellen Werte einsetzen, um das Vorzeichen abzulesen. Bei dieser Aufgabe ist aber laut Aufgabenstellung nur die unmittelbare Umgebung des Ursprungs interessant, also kannst du auf die Nullstellenbestimmung verzichten.

Der Zusammenhang zwischen Vorzeichen der 2. Ableitung und Krümmungsverhalten kann wie folgt zusammengefasst werden:

Ist \( f''(x_0)>0\), so ist \(G_f\) in einer Umgebung von \(x_0\) linksgekrümmt, das heißt, die Steigung wird immer größer. Der Graph von \(f\) sieht dann in der Nähe von \(x_0\) ungefähr so aus wie ein Teil eines unteren Halbkreisbogens.

Wie du Krümmungsverhalten untersuchst - Abbildung 1

Ist \(f''(x_0)<0\), so ist \(G_f\) in einer Umgebung von \(x_0\) rechtsgekrümmt, das heißt, die Steigung wird immer kleiner. Der Graph von \(f\) sieht dann in der Nähe von \(x_0\) ungefähr so aus wie ein Teil eines oberen Halbkreisbogens.

Wie du Krümmungsverhalten untersuchst - Abbildung 2

Wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen (z. B. \(f''(x)<0\) für \(x<x_0\) und \(f''(x)>0\) für \(x>x_0\)), so liegt ein Wendepunkt von \(G_f \) vor. Hier geht der Graph von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung (oder umgekehrt) über und es ist \(f''(x_0)=0\).

In dieser Aufgabe ist nur die unmittelbare Umgebung von \(x=0\) von Interesse. Hier gilt \(f''(0)=2>0\) laut Schritt 1, also ist der Graph von \(f\) in einer Umgebung des Ursprungs linksgekrümmt.

Wie du Krümmungsverhalten untersuchst - Abbildung 3

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