Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 
Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Integrale umformst

Aufgabe

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f:x\longmapsto 2x\cdot e^{-0,5x^2}\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).

Wie du Integrale umformst - Abbildung 1

Im Folgenden wird die Schar der in \( \mathbb{R}\) definierten Funktionen \(g_c:x\longmapsto f(x)+c\) mit \(c\in\mathbb{R}\) betrachtet.

Begründe für \(c>0\) anhand einer geeigneten Skizze, dass

\(\begin{align*}
\int\limits_0^3g_c(x)\mathrm{d}x=\int\limits_0^3f(x)\mathrm{d}x +3c
\end{align*}\)

gilt.

Schritt 1: Skizze anfertigen

Das Integral auf der linken Seite der Gleichung, \(\int\limits_0^3g_c(x)\mathrm{d}x\), stellt die Fläche zwischen dem Graphen von \(g_c\) und der \(x\)-Achse im Bereich \(0\leq x\leq 3\) dar, die in der folgenden Skizze braun schraffiert ist.

Wie du Integrale umformst - Abbildung 2

Schritt 2: Geeignete Umformungsregeln anwenden

Wegen \(g_c(x)=f(x)+c\) entsteht \(G_{g_c}\) aus dem Graphen von \(f\) durch Verschiebung um \(c\) Längeneinheiten nach oben. Somit entspricht der Teil der braun schraffierten Fläche, der oberhalb der blauen Linie liegt, genau der blau schraffierten Fläche zwischen \(G_f\) und der \(x\)-Achse.

Wie du Integrale umformst - Abbildung 3

Der Teil der braunen Fläche, der unterhalb der blauen Linie liegt, ist ein Rechteck der Breite 3 und der Höhe \(c\), hat also den Flächeninhalt \(3c\). Somit ist die braune Fläche die Summe aus der blauen Fläche und der Rechtecksfläche.

Die zugehörige Umformungsregel „Summen auseinanderziehen" (die 2. Umformungsregel) für Integralterme lautet

\(\begin{align*} \color{green} {\int\limits_0^3\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm{d}x=\int\limits_0^3f(x)\mathrm{d}x+\int\limits_0^3g(x)\mathrm{d}x} \end{align*}\),

was man sich bildlich wie folgt vorstellen kann:

Wie du Integrale umformst - Abbildung 4

In unserem Fall ist \(g(x)=c\) konstant, also \(\int\limits_0^3g(x)\mathrm{d}x=[cx]_0^3=3c\). Setzt du dies in die grüne Formel ein und beachtest, dass der Integrand auf der linken Seite genau \(g_c(x)\) ist, so ergibt sich die Gleichung, die zu begründen war.

Bemerkung

Es gibt noch zwei andere Umformungsregeln für Integralterme, die abgefragt werden können.

1. Umformungsregel: Konstanten rausziehen

Für jeden Integranden \(f\) und jede reelle Zahl \(\lambda\) gilt für beliebige Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\):

\(\begin{align*} \int\limits_a^b\lambda\cdot f(x)\mathrm{d}x=\lambda\cdot\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x \end{align*}\)

Diesen Sachverhalt kannst du dir folgendermaßen veranschaulichen:

Wie du Integrale umformst - Abbildung 5

3. Umformungsregel: Additivität bzgl. der Integrationsgrenzen

Du kannst das Intervall, über das du integrieren willst – hier \([a;c]\) – in zwei Teilintervalle, etwa \([a;b]\) und \([b;c]\), aufteilen und die Teilintegrale aufsummieren, d. h.:

\(\begin{align*} \int\limits_a^cf(x)\mathrm{d}x=\int\limits_a^bf(x)\mathrm{d}x+\int\limits_b^cf(x)\mathrm{d}x \end{align*}\)

Den Sachverhalt kannst du dir folgendermaßen veranschaulichen:

Wie du Integrale umformst - Abbildung 6

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!
Deine Vorteile
  • Bessere Noten mit über 10.000 Lerninhalten in 9 Fächern
  • Originalklassenarbeiten, Musterlösungen und Übungen
  • NEU: Persönliche WhatsApp-Nachhilfe

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Next

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier