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Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst


Aufgabe

Skizziere den Graphen folgender Funktionen:

a) \( f(x) = 1,5\cdot \sin(2x+3)\)
b) \( f(x) = 1,5\cdot \cos (2x +3)\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) \( f(x) = 1,5\cdot \sin(2x+3)\)

Hinweis

Eine Schwingung jeder beliebigen Sinusfunktion hat drei Nullstellen: Den Anfangspunkt, den Endpunkt und den Punkt genau in der Mitte. Der Abstand vom Anfangs- zum Endpunkt ist die sogenannte Periode der Schwingung. Außerdem hat jede Sinusschwingung einen höchsten und einen tiefsten Punkt jeweils genau zwischen zwei Nullstellen.

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 1

Um eine beliebige Sinusfunktion zu skizzieren, musst du nur die Koordinaten dieser wichtigen Punkte bestimmen und sie dann verbinden. Dazu benutzt du die Zahlen in der vorgegebenen Sinusfunktion. Die allgemeine Form der Sinusfunktion lautet:

\(a \cdot \sin(b\cdot x + c) +d \)

Schritt 1: Bestimme die Verschiebung

Du möchtest eine volle Schwingung skizzieren. Als Erstes musst du die Verschiebung bestimmen, damit du weißt, wo die Kurve beginnt. Es gilt:

\(Verschiebung =\frac{c}{b}\)

Hier gilt also:

\(Verschiebung = \frac{3}{2} = 1,5\)

Außerdem gilt:

Ist c negativ, so ist der Graph nach rechts verschoben, bei positivem c hingegen nach links.

Also ist der Startpunkt der Schwingung um 1,5 nach links verschoben.

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 2

Schritt 2: Bestimme die Periode

Jetzt musst du die Periode bestimmen, damit du weißt, wie lange die Schwingung dauert. Es gilt:

\(Periode = \frac{2 \pi}{b}\)

Also bei dieser Funktion:

\(Periode = \frac{2 \pi}{2}= \pi\)

Jetzt weißt du, dass der Abstand zwischen dem Anfangspunkt einer Schwingung und ihrem Endpunkt \(\pi = 3,14\) ist. Die Nullstellen dieses Graphen liegen also am Anfangspunkt bei \(x=-1,5\), am Endpunkt bei \(x=-1,5 + \pi\) und auf halber Strecke bei \(x=-1,5 + \frac{\pi}{2}\).

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 3

Schritt 3: Bestimme die Amplitude

Die Amplitude kannst du direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. Es gilt:

\(Amplitude = a \), also:
\(Amplitude = 1,5\)

Das heißt, dass die Schwingung an ihrer höchsten Stelle den Wert \(y=1,5\) annimmt und an ihrer niedrigsten Stelle den Wert \(y=-1,5\). Den höchsten Wert nimmt sie zwischen den ersten beiden Nullstellen an, den niedrigsten zwischen der zweiten und der dritten.

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 4

Schritt 4: Skizziere die Funktion

Jetzt verbindest du die Punkte und erhältst eine volle Schwingung der Sinuskurve.

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 5

Da die Sinusfunktion aber weder Anfang noch Ende hat, kannst du sie über diese eine Schwingung hinaus beliebig verlängern.

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 6

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) \( f(x) = 1,5 \cdot \cos (2x +3)\)

Hinweis

Eine Schwingung einer Kosinusfunktion hat zwei Nullstellen, die erste nach einem Viertel der Periode, die zweite nach drei Vierteln. Der Anfangspunkt und der Endpunkt sind jeweils ein Maximum, die Mitte der Schwingung ist ein Minimum.

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 7

Schritt 1: Bestimme die Verschiebung

Wie bei der Sinusfunktion gilt:

\(Verschiebung = \frac{c}{b}\)

Hier gilt also:

\(Verschiebung = \frac{3}{2}= 1,5\)

Das c ist positiv, also ist der Startpunkt der Schwingung um 1,5 nach links verschoben. Die y-Koordinate des Startpunktes weißt du allerdings erst, wenn du die Amplitude bestimmt hast.

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 8

Schritt 2: Bestimme die Periode

Auch hier gilt:

\(Periode = \frac{ 2 \pi}{b}\)

Also:

\(Periode = \frac{ 2 \pi}{2}= \pi\)

Jetzt weißt du, dass der Abstand zwischen dem Anfangspunkt einer Schwingung und ihrem Endpunkt \(\pi=3,14\) ist. Daraus ergeben sich später Maximum und Minimum.

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 9

Schritt 3: Bestimme die Amplitude

Die Amplitude kannst du direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. Es gilt:

\(Amplitude = a \), also:
\( Amplitude = 1,5\)

Das heißt, dass die Schwingung an ihrer höchsten Stelle den Wert \(y=1,5\) annimmt und an ihrer niedrigsten Stelle den Wert \(y=-1,5\).

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 10

Schritt 4: Skizziere die Funktion

Jetzt hast du ein rechteckiges Schema, in das du die Kurve einpassen kannst. Der Anfangspunkt und der Endpunkt sind jeweils ein Maximum, die Mitte der Schwingung ein Minimum. Die Nullstellen befinden sich jeweils zwischen Maximum und Minimum.

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 11

Wenn du die Punkte verbindest, erhältst du eine volle Kosinusschwingung.

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 12

Da die Kosinusfunktion aber weder Anfang noch Ende hat, kannst du sie über diese eine Schwingung hinaus beliebig verlängern.

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 13

Lösung

a) \(f(x) = 1,5 \cdot \sin (2x+3)\)

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 14

b) \(f(x) = 1,5 \cdot \cos(2x+3)\)

Wie du Graphen zu Sinus- und Kosinusfunktionen skizzierst - Abbildung 15

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