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Wie du Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen verschiebst, streckst und stauchst


Aufgabe

Beschreibe die Graphen der folgenden Funktionen, indem du sie mit der „normalen“ Sinuskurve vergleichst.

  1. \(f(x)=2\cdot\sin 2x\)
  2. \(g(x)=\frac{1}{2}\cdot \sin (x+2)\)

a)

Schritt 1: Skizze anfertigen

Du solltest im Kopf haben, wie die gewöhnliche Sinusfunktion aussieht:

Wie du Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen verschiebst, streckst und stauchst - Abbildung 1

Der Übergang vom Funktionsterm \(sin(x)\) zum Term \(sin(2x) \)bedeutet, dass der Graph entlang der Waagerechten gestaucht wird, d. h. alle Punkte des roten Graphen rücken um die Hälfe näher an die \(y\)-Achse. Daraus ergibt sich die gestrichelte blaue Linie:

Wie du Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen verschiebst, streckst und stauchst - Abbildung 2

Jetzt wird noch mit 2 multipliziert. Das streckt den blau gestrichelten Graphen um den Faktor 2 in Richtung der \(y\)-Achse, d. h. jeder Punkt verdoppelt seinen Abstand zur \(x\)-Achse. Das Ergebnis ist der durchgezogene blaue Graph:

Wie du Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen verschiebst, streckst und stauchst - Abbildung 3

Schritt 2: Funktion beschreiben

Fassen wir noch einmal zusammen, wie man geometrisch von der roten zur blauen Kurve kommt:

Der Graph der Funktion \(f(x)=2\cdot\sin 2x \) geht aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Stauchung in \(x\)-Richtung um den Faktor 0,5 und Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor 2 hervor.

Bemerkung:

Anstatt von Stauchung in \(x\)-Richtung zu sprechen, kannst du die 2 vor dem \(x\) im Funktionsterm auch als Verkürzung der Periode von \(2\pi\) auf \(\pi\) beschreiben.

b)

Schritt 1: Skizze anfertigen

Du solltest im Kopf haben, wie die gewöhnliche Sinusfunktion aussieht:

Wie du Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen verschiebst, streckst und stauchst - Abbildung 4

Der Übergang vom Funktionsterm \(sin(x)\) zum Term \(sin(x+2)\) bedeutet, dass der rote Graph komplett um 2 Einheiten nach links verschoben wird. Daraus ergibt sich die gestrichelte grüne Linie:

Wie du Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen verschiebst, streckst und stauchst - Abbildung 5

Jetzt wird noch mit \(\frac{1}{2} \)multipliziert. Das staucht den grün gestrichelten Graphen um den Faktor 0,5 in Richtung der \(y\)-Achse, d. h. jeder Punkt halbiert seinen Abstand zur \(x\)-Achse. Das Ergebnis ist der durchgezogene grüne Graph:

Wie du Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen verschiebst, streckst und stauchst - Abbildung 6

Schritt 2: Funktion beschreiben

Fassen wir noch einmal zusammen, wie man geometrisch von der roten zur grünen Kurve kommt:

Der Graph der Funktion \(g(x)=\frac{1}{2}\cdot \sin(x+2)\) geht aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Verschiebung in negative \(x\)-Richtung um 2 Einheiten und Stauchung in \(y\)-Richtung um den Faktor 0,5 hervor.

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