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Wie du Graphen von gebrochenrationalen Funktionen zeichnest


Aufgabe

Bestimme die größtmögliche Definitionsmenge über der Grundmenge \(\mathbb {Q} \) und zeichne den Graphen der folgenden gebrochenrationalen Funktion:

\(f(x) = \frac{2x\ +\ 3}{x\ +\ 2}\)

Schritt 1: Bestimme die größtmögliche Definitionsmenge

Als gebrochenrationale Funktionen werden die Funktionen bezeichnet, deren Funktionsterm ein Bruch ist, bei dem ein x im Nenner vorkommt. Wie du weißt, darf der Nenner eines Bruchs nicht 0 sein. Deshalb sind gebrochenrationale Funktionen an der Stelle, an der ihr Nenner 0 wäre, nicht definiert. Sie besitzen eine Definitionslücke.

\(f(x) = \frac{2x\ +\ 3}{\color{red}{x\ +\ 2}}\)

Der Nenner der gegebenen Funktion ist also:

\(x+2\)

Nun musst du berechnen, für welchen x-Wert der Nenner 0 ergibt.

\(x+2=0 \quad\quad \mid -2\)

\(x=-2\)

Die gegebene Funktion hat demnach eine Definitionslücke an der Stelle \(x=-2 \). Wenn die Grundmenge \(\mathbb {Q} \) ist, so ist die größtmögliche Definitionsmenge für diese Funktion nun:

\(D_{f}=\mathbb {Q}\backslash\{-2\}\)

Gebrochenrationale Funktionen haben an ihrer Definitionslücke eine senkrechte Asymptote. Diese kannst du nun schon einmal in das Koordinatensystem eintragen, in das du später deinen Graphen zeichnen wirst.

Wie du Graphen von gebrochenrationalen Funktionen zeichnest - Abbildung 1

Schritt 2: Erstelle eine Wertetabelle

Stelle nun eine Wertetabelle auf. Verwende ein Zahlenintervall, bei dem die Definitionslücke genau in der Mitte ist. Verkleinere außerdem die Schrittweite, je näher du der Definitionslücke bist. Setze diese x-Werte wie üblich in die Funktion ein, um die y-Werte zu bekommen.

Für die x-Werte, die kleiner als die Definitionslücke sind, könnte das zum Beispiel so aussehen:

Wie du Graphen von gebrochenrationalen Funktionen zeichnest - Abbildung 2

Und für die x-Werte, die größer als die Definitionslücke sind:

Wie du Graphen von gebrochenrationalen Funktionen zeichnest - Abbildung 3

Schritt 3: Zeichne den Graphen der Funktion

Um den Graphen dieser Funktion zu zeichnen, trägst du nun die berechneten Wertepaare in das Koordinatensystem ein, in das du auch schon die Asymptote gezeichnet hast.

Wie du Graphen von gebrochenrationalen Funktionen zeichnest - Abbildung 4

Jetzt musst du die Punkte nur noch verbinden und schon erhältst du den gesuchten Graphen.

Wie du Graphen von gebrochenrationalen Funktionen zeichnest - Abbildung 5

Lösung

Wie du Graphen von gebrochenrationalen Funktionen zeichnest - Abbildung 6

Wie du siehst nähert sich der Graph der senkrechten Asymptote immer näher an und geht in ihrer Nähe gegen \(\pm\infty\). Der Graph hat außerdem eine waagrechte Asymptote bei \(\color{blue}{y=2}\). Wie man diese herausfindet erfährst du in dieser Anleitung.

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