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Wie du Grad und Koeffizienten von ganzrationalen Funktionen bestimmst


Aufgabe 

  1. Bestimme den Grad und die Koeffizienten der ganzrationalen Funktion \(f(x)= 3x^4-0,4x^3+2x+5\).
  2. Bestimme die ganzrationale Funktion mit den Koeffizienten \(a_3 = 4;\ a_2=-9;\ a_1= 0;\ a_0=-7 \).

Lösungsschritte für Aufgabe a)

a. Bestimme den Grad und die Koeffizienten der ganzrationalen Funktion \(f(x) = 3x^4-0,4x^3+2x+5\).

Schritt 1: Bestimme den Grad der Funktion

Den Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmst du, indem du den höchsten Exponenten der ganzrationalen Funktion angibst. Die Funktion \(f(x)= 3x^4-0,4x^3+2x+5\)  hat die Exponenten 4, 3, 1 und 0. Damit ist der höchste Exponent 4. Die Funktion hat also den Grad 4. Du kannst auch sagen, die Funktion \(f\) mit \(f(x)= 3x^4-0,4x^3+2x+5\)  ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades: Grad \(f=4\).

Schritt 2: Bestimme die Koeffizienten

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat die allgemeine Funktionsgleichung:

\(f(x)= a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

Dabei sind \(a_0\) bis \(a_4\) die gesuchten Koeffizienten. Du musst also die Koeffizienten in der Funktion \(f(x)= 3x^4-0,4x^3+2x+5\)  nur ablesen. Kommt eine Potenz nicht vor, dann bedeutet das, dass der zugehörige Koeffizient 0 ist. 

\(a_0 =5\);  \(a_1 =2\)\(a_2 =0\)\(a_3 =-0,4\)\(a_4=3\) 

Lösungsschritte für Aufgabe b)

b. Bestimme die ganzrationale Funktion mit den Koeffizienten \(a_3 = 4;\ a_2 = -9;\ a_1 = 0;\ a_0 = -7\).

Schritt 1: Bestimme die Funktionsgleichung

Eine ganzrationale Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung:

\(f(x)= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\)

Damit du die Funktionsgleichung angeben kannst, musst du die Koeffizienten \(a_3 = 4\ ; a_2=-9;\ a_1= 0;\ a_0=-7 \)  jeweils den entsprechenden Potenzen zuordnen. Die tiefgestellten Zahlen an den Variablen (Indizes) geben dir die entsprechenden Exponenten an. Also:

\(f(x)= 4 \cdot x^3+(-9) \cdot x^2+0 \cdot x+(-7)=4x^3 -9x^2-7\)

Lösung

  1. Grad \(f = 4\) und \(a_0 =5\)\(a_1 =2\)\(a_2 =0\)\(a_3 =-0,4\)\(a_4 =3\)
  2. \(f(x)=4x^3 -9x^2-7\)
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