Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du Funktionsterme von linearen Funktionen aufstellst


Aufgabe

  1. Bestimme den Funktionsterm der Geraden, die durch den Punkt \(A (2\mid2)\) verläuft und die Steigung −2 hat.
  2. Bestimme den Funktionsterm der Geraden, die durch die Punkte \(A(2\mid2)\) und \(B (3\mid4)\) verläuft.
  3. Bestimme den Funktionsterm des folgenden Graphen:

Wie du Funktionsterme von linearen Funktionen aufstellst - Abbildung 1

Lösungsschritte zu Aufgabenteil a

Schritt 1: Bestimme die Steigung m des Funktionsterms

Die allgemeine Form des Funktionsterms einer linearen Funktion lautet:

\(f(x) = m\cdot x + b\)

Dabei steht m für die Steigung der Geraden und b für den y-Achsenabschnitt. Wenn du also den Funktionsterm einer linearen Funktion aufstellen sollst, musst du die beiden Paramter m und b bestimmen.

Schau dir jetzt an, welche Informationen in der Aufgabe gegeben sind.

  1. Die Gerade verläuft durch den Punkt \(A (2\mid2)\).
  2. Die Gerade hat die Steigung −2.

Damit ist die Steigung bereits gegeben.

\(m = - 2 \)

Und damit ist der Funktionsterm:

\(f(x) = -2\cdot x + b\)

Schritt 2: Bestimme den y-Achsenabschnitt b

Nun musst du noch den Parameter b bestimmen. Du findest ihn mithilfe des gegebenen Punktes A.

Du weißt, dass der Punkt A auf der Geraden liegt, d. h., er muss die Geradengleichung erfüllen. Setze den Punkt also in die Gleichung ein, indem du für \(f(x)\) den \(y\)-Wert einsetzt und für \(x\) den \(x\)-Wert.

\(2 = -2\cdot 2 + b\)

Löse die Gleichung nach b auf.

\(2 = -4 + b\)

\(b=6\)

Damit ist der Funktionsterm:

\(f(x) = -2\cdot x + 6\)

Lösungsschritte zu Aufgabenteil b

Schritt 1: Bestimme die Steigung m des Funktionsterms

Dieses Mal ist die Steigung nicht gegeben. Stattdessen hast du 2 Punkte gegeben.

Zeichne sie dir in ein Koordinatensystem ein, dann fällt es leichter, die Steigung zu bestimmen.

Wie du Funktionsterme von linearen Funktionen aufstellst - Abbildung 2

Die Steigung m ist definiert als der Höhenunterschied der beiden Punkte (Distanz auf der y-Achse) geteilt durch den waagerechten Abstand zwischen den beiden Punkten (Distanz auf der x-Achse). Um nun den Höhenunterschied zu erhalten, musst du den y-Wert von B minus den y-Wert von A rechnen.

\(Höhenunterschied = 4 - 2 = 2\)

Für die Distanz auf der x-Achse musst du den x-Wert von B minus den x-Wert von A rechnen.

\(waagerechter\ Abstand = 3-2 = 1\)

Daraus folgt für m:

\(m= \frac{2}1=2\)

Bisher lautet der Funktionsterm also:

\(f(x) = 2\cdot x + b\)

Lösungsalternative

Du hättest auch den x- und y-Wert von A minus B rechnen können. Wichtig ist nur, dass du bei der Berechnung des Höhenunterschieds und des waagerechten Abstands die gleiche Reihenfolge verwendest.

Schritt 2: Bestimme den y-Achsenabschnitt b

Nun kannst du wie in Teilaufgabe a vorgehen. Dabei ist es egal, welchen der beiden Punkte du verwendest. Setze also beispielsweise den Punkt B in die Geradengleichung ein.

\(4 = 2\cdot 3 + b\)

Aufgelöst nach b ist das:

\(4 = 6 + b \)

\(b= -2\)

Der Funktionsterm ist damit:

\(f(x) = 3\cdot x -2\)

Lösungsschritte zu Aufgabenteil c

Schritt1: Bestimme die Steigung m des Funktionsterms

Dieses Mal hast du keine Punkte, sondern einen Graphen bzw. eine Gerade gegeben. Aber keine Angst, auch hier ist es ganz einfach, m und b zu bestimmen.

Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion kannst du mithilfe des Steigungsdreiecks herausfinden. Dazu zeichnest du ein beliebig großes Dreieck an deine Gerade. Eine Seite des Dreiecks ist parallel zur x-Achse und eine Seite ist parallel zur y-Achse.

Hier sind drei mögliche Dreiecke eingezeichnet:

Wie du Funktionsterme von linearen Funktionen aufstellst - Abbildung 3

Durch die Division von Höhe und Breite lässt sich nun die Steigung ermitteln.

\(m= \frac{Höhe} {Breite}= \frac{1}2\)

Oder mit dem größeren Dreieck:

\(m= \frac{Höhe} {Breite}= \frac{2}4=\frac{1}2\)

Schritt 2: Bestimme den y-Achsenabschnitt b

Die Bestimmung von b anhand eines gegebenen Graphen ist nun ganz einfach. Du liest einfach den y-Wert des Schnittpunktes des Graphen mit der y-Achse ab. In diesem Fall ist es \(b=1 \).

Damit ist der Funktionsterm:

\(f(x) = \frac{1}2\cdot x +1\)

Lösung

Wie du Funktionsterme von linearen Funktionen aufstellst - Abbildung 4

In dem Koordinatensystem sind alle drei Graphen abgebildet. Die Funktionsterme dazu lauten:

a. \(f(x) = -2\cdot x + 6\)

b. \(f(x) = 3\cdot x -2\)

c. \(f(x) = \frac{1}2\cdot x +1\)

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier