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Wie du Funktionsterme periodischer Funktionen bestimmst


Aufgabe

Gegeben sind die Winkelfunktionen \(f(x)=a\cdot\sin(x\)) und \(g(x)=\sin(bx)\) im Intervall \(0\leq x\leq 2\pi\). Die Funktion \(g(x)\) hat die Periodenlänge \(\frac{\pi}{2}\), die Funktion \(f(x)\) hat die \(0,75\) als größten Funktionswert.

Bestimme \(a>0 \)und \(b>0\) so, dass die obigen Bedingungen erfüllt sind und stelle die zugehörigen Funktionsgleichungen auf.

Lösung für f

Schritt 1: Parameter ermitteln

Von der Funktion \(f\) ist folgendes bekannt:

  1. \(f\) hat die Funktionsgleichung \(f(x)=a\cdot\sin(x)\) für geeignetes \(a>0\).
  2. Der größte Funktionswert von \(f \) ist \(0,75\).

Merke dir: Multiplikation des Funktionsterms mit \(a>0\) entspricht Streckung bzw. Stauchung des Graphen in \(y\)-Richtung um den Faktor \(a\).

Der Funktionsterm sagt dir also, dass der Graph von \(f\) aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Streckung bzw. Stauchung in \(y\)-Richtung um den Faktor \(a\) hervorgeht.

Der Parameter \(a\) soll so bestimmt werden, dass der größte Funktionswert nicht mehr \(1\) ist (wie bei der gewöhnlichen Sinusfunktion), sondern \(0,75\). In der folgenden Skizze ist die rote Kurve der Graph der Sinusfunktion und die blaue Kurve der entsprechend gestauchte Graph. Die gestrichelten Linien markieren die maximalen Funktionswerte:

Wie du Funktionsterme periodischer Funktionen bestimmst - Abbildung 1

Der Stauchfaktor \(a\) ergibt sich wie folgt:

\(a=\frac{\text{Maximalwert der gestauchten Funktion}}{\text{Maximalwert der ursprünglichen Funktion}}=\frac{0,75}{1}=0,75\),

denn die ursprüngliche Funktion ist in diesem Fall der Sinus und dessen Maximalwert ist \(1\).

Schritt 2: Gleichung aufstellen

Durch Einsetzen des eben gefundenen Parameters\( a=1\) in die vorgegebene Funktionsgleichung \(f(x)=a\cdot\sin(x)\) bekommst du das Ergebnis

\(f(x)=0,75\cdot\sin(x)\).

Lösung für g

Schritt 1: Parameter ermitteln

Von der Funktion \(g\) ist folgendes bekannt:

  1. \(f\) hat die Funktionsgleichung \(f(x)=\sin(bx)\) für geeignetes \(b>0\).
  2. Die Funktion \(g\) hat die Periodenlänge \(\frac{\pi}{2}\).

Merke dir: Multiplikation der Variablen \(x\) im Funktionsterm mit \(b>0\) entspricht Streckung bzw. Stauchung des Graphen in \(x\)-Richtung um den Faktor \(\frac{1}{b}\).

Der Funktionsterm sagt dir also, dass der Graph von\( f \)aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Streckung bzw. Stauchung in \(x\)-Richtung um den Faktor \(b\) hervorgeht.

Bei Streckung in \(x\)-Richtung wird die Periodenlänge entsprechend länger; bei Stauchung kürzer. Der Parameter b soll so bestimmt werden, dass die Periodenlänge \(\frac{\pi}{2}\) beträgt. Dabei hat die gewöhnliche Sinusfunktion die Periode \(2\pi\). Um von der Periode \(2\pi\) auf \(\frac{\pi}{2}\) zu kommen, musst du durch \(4\) teilen. Die Periode muss also auf \(\frac{1}{4}\) ihrer Länge gestaucht werden.

Ein Vergleich mit der Merkregel verrät, dass der zugehörige Parameter \(b=4 \) sein muss. Der in \(x\)-Richtung gestauchte Graph (blau) wird in der folgenden Skizze dem Graph der Sinusfunktion (rot) gegenübergestellt (jeweils eine Periode ist mit einer gestrichelten Linie gekennzeichnet):

Wie du Funktionsterme periodischer Funktionen bestimmst - Abbildung 2

Eine andere Art, den Parameter \(b\) direkt aus der vorgegebenen Periode zu berechnen, ist mittels der Periodenformel

\(P=\frac{2\pi}{b}\).

Wenn also die Periode \(P=\frac{\pi}{2}\) sein soll, dann musst du

\(\frac{2\pi}{b}=\frac{\pi}{2}\)

nach \(b\) auflösen und bekommst \(b=4\).

Schritt 2: Gleichung aufstellen

Durch Einsetzen des eben gefundenen Parameters \( b=4\) in die vorgegebene Funktionsgleichung \(g(x)=\sin(bx)\) bekommst du das Ergebnis

\(g(x)=\sin(4x)\).

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