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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Funktionsterme für gespiegelte und verschobene Graphen findest

Aufgabe

Betrachtet wird die in \(\mathbb{R}^+\) definierte Funktion \(h:x\longmapsto-\ln(x)+3\).

Gib an, wie der Graph von \(h\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb{R}^+\) definierten Funktion \(x\longmapsto{\ln(x)}\) hervorgeht.

Hinweis

Den Übergang von \(\ln(x)\) zu \(-\ln(x)+3\) musst du in zwei Schritten vollziehen: zuerst von \(\ln(x)\) zu \(-\ln(x)\), dann weiter zu \(-\ln(x)+3\).

Schritt 1: Übergang von ln(x) zu -ln(x) vollziehen

Spiegelung des Graphen an der \(x\)-Achse

Man erhält \(-\ln(x)\) aus \(\ln(x)\) durch Hinzufügen eines Minuszeichens vor den Funktionsterm. Ein Minuszeichen vor den Funktionsterm setzen bedeutet, den Graphen der Funktion an der \(x\)-Achse spiegeln.

Allgemein gilt: Der Graph einer Funktion \(f\) wird an der \(x\)-Achse gespiegelt, indem der Funktionsterm \(f(x)\) durch den Funktionsterm \(-f(x)\) ersetzt wird.

So wird z. B. aus \(f(x)=\ln(x)\) der Funktionsterm \(f^*(x)=-f(x)=-\ln(x)\), wie in unten stehender Skizze gezeigt.

Wie du Funktionsterme für gespiegelte und verschobene Graphen findest - Abbildung 1

Schritt 2: Übergang von -ln(x) zu -ln(x) + 3 vollziehen

Verschiebung des Graphen um 3 LE nach oben

Der Funktionsterm \(-\ln(x)+3\) entsteht aus \(-\ln(x)\) durch Addition von 3. Die Addition der Konstanten 3 zu einem Funktionsterm bedeutet die Verschiebung des Graphen um 3 LE nach oben.

Allgemein gilt: Der Graph einer Funktion \(f^*\) wird um a LE nach oben/unten verschoben, indem \(a\) zum Funktionsterm addiert bzw. vom Funktionsterm subtrahiert wird.

So wird aus \(f^*(x) = -\ln(x)\) der neue Funktionsterm \(f^*(x)+3 = -\ln(x) + 3 = h(x)\), wie in der Grafik gezeigt.

Wie du Funktionsterme für gespiegelte und verschobene Graphen findest - Abbildung 2

Der Graph der Funktion \(h\) entsteht also durch Spiegelung des Graphen der natürlichen Logarithmusfunktion an der \(x\)-Achse und anschließender Verschiebung um 3 LE nach oben.

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