Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du Flächeninhalt und Umfang von Vielecken berechnest


Aufgabe

Bei unten abgebildetem Fünfeck ABCDE gilt \(a=5\ cm\), \(b=e=6\ cm\), \(c=d=3,9\ cm\) und \(\overline{MD}=9\ cm\).

Berechne:

a) den Umfang des Fünfecks.

b) den Flächeninhalt des Fünfecks.

Wie du Flächeninhalt und Umfang von Vielecken berechnest - Abbildung 1

Lösungschritt für Teilaufgabe a)

a) Berechne den Umfang des Fünfecks.

Schritt 1: Addiere alle Seiten

Den Umfang eines Vielecks berechnest du, indem du alle Seiten des Vielecks addierst. Du rechnest also:

\(U=a+b+c+d+e=5\ cm+6\ cm+3,9\ cm+3,9\ cm+6\ cm=24,8\ cm\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Berechne den Flächeninhalt des Fünfecks.

Schritt 1: Zerlege das Vieleck in Teilfiguren

Um den Flächeninhalt eines Vielecks zu berechnen, zerlegst du das Vieleck am besten in Dreiecke oder Vierecke. Bei diesen Teilfiguren lassen sich die Flächen einfach berechnen. Verbindest du die Punkte E und C, dann erkennst du, dass das Fünfeck aus einem Rechteck und einem Dreieck besteht.

Wie du Flächeninhalt und Umfang von Vielecken berechnest - Abbildung 2

Schritt 2: Berechne die Flächeninhalte der Teilfiguren

Dann berechnest du die Flächeninhalte der Teilfiguren. Dazu solltest du die Formeln für Vierecke und Dreiecke parat haben. Manchmal brauchst du auch noch den Satz des Pythagoras.

In diesem Beispiel lässt sich die Fläche des Vierecks ABCE ganz einfach berechnen.

\(A_{Rechteck}=a\cdot b=5\ cm\cdot 6\ cm=30\ cm^2\)

Um die Fläche des Dreiecks ECD zu berechnen, verwendest du die Formel:

\(A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h\)

Die Grundlinie \(g\) ist die Seite EC und die Höhe \(h\) ist die senkrechte Verbindung von EC zum Punkt D.

Wie du Flächeninhalt und Umfang von Vielecken berechnest - Abbildung 3

\(g\) ist genauso groß wie \(a\), also:

\(g=5\ cm\)

Da die Strecke von M zum Schnittpunkt von \(h\) und \(g\) genauso lang wie \(b\) ist, lässt sich \(h\) berechnen mit:

\(h=\overline{MD}-b=9\ cm-6\ cm=3\ cm\)

Jetzt lässt sich der Flächeninhalt des Dreiecks berechnen.

\(A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot5\ cm\cdot 3\ cm=7,5\ cm^2\)

Schritt 3: Berechne den gesamten Flächeninhalt

Den gesamten Flächeninhalt kannst du nun berechnen, indem du die beiden Flächeninhalte addierst.

\(A_{gesamt}=A_{Dreieck}+A_{Rechteck}=30\ cm^2+7,5\ cm^2=37,5\ cm^2\)

Lösung

a) Der Umfang des Fünfecks beträgt \(24,8\ cm\).

b) Der Flächeninhalt des Fünfecks beträgt \(37,5\ cm^2\).

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier