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Wie du fehlende Größen einer Strahlensatzfigur berechnest


Aufgabe

Berechne die fehlenden Strecken \(\overline{AB}\) und \(\overline{SC}\).

Wie du fehlende Größen einer Strahlensatzfigur berechnest - Abbildung 1

Schritt 1: Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen

Suche zuerst \(\overline{AB}\). Die gegenüberliegende Strecke \(\overline{CD}\) ist bekannt und nach dem zweiten Strahlensatz gilt

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{BS}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{DS}}\),

also nach Multiplikation mit \(\overline{BS}\):


\(\begin{align*} \overline{AB}&=\frac{\overline{CD}}{\overline{DS}}\cdot\overline{BS}\\ &=\frac{8}{5}\cdot15=24. \end{align*}\)

Nun zu \(\overline{SC}\):

Nach dem zweiten Strahlensatz verhält sich \(\overline{SC}\) zu \(\overline{CD}\) genauso wie \(\overline{AS}\) zu \(\overline{AB}\), d. h.

\(\frac{\overline{SC}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AS}}{\overline{AB}}\).

Durch Multiplikation mit \(\overline{CD}\) bekommst du die Formel


\(\begin{align*} \overline{SC}&=\frac{\overline{AS}}{\overline{AB}}\cdot\overline{CD}\\ &=\frac{12}{24}\cdot8=4 \end{align*}\)

(du hast ja gerade ausgerechnet, dass \(\overline{AB}=24 \) ist).

Lösung

Die fehlenden Strecken haben also die Längen \( \overline{AB}=24\) und \(\overline{SC}=4\).

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