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Wie du fehlende Größen einer Raute berechnest


Aufgabe

Bei der unten abgebildeten Raute gilt: \(U=16\ cm\), \(f=6,9\ cm\).

a) Berechne die Seitenlänge \(a\).

b) Berechne den Flächeninhalt der Raute.

Wie du fehlende Größen einer Raute berechnest - Abbildung 1

Das musst du wissen

Bei einer Raute

  • sind alle Seiten gleich lang.
  • sind gegenüberliegende Winkel gleich groß.
  • werden die Winkel von den Diagonalen halbiert.
  • beträgt der Flächeninhalt \(A=\frac{1}{2}ef\).

Den Umfang \(U\) bei einem Vieleck berechnest du, indem du alle Seiten addierst.

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) Berechne die Seitenlänge \(a\).

Schritt 1: Teile den Umfang durch 4

Da bei einer Raute alle vier Seiten gleich lang sind, musst du nur den Umfang durch 4 teilen, um die Seitenlänge zu berechnen.

\(a=16\ cm:4=4\ cm\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Berechne den Flächeninhalt der Raute.

Schritt 1: Bestimme die Länge der Diagonalen

Den Flächeninhalt einer Raute kannst du mit der Formel \(A=\frac{1}{2}ef\) berechnen. Dabei sind \(e\) und \(f\) die beiden Diagonalen. Wie lang \(f\) ist, ist in der Aufgabe bereits gegeben. Die Länge von \(e\) musst du noch bestimmen.

Da bei einer Raute die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind und von den Diagonalen halbiert werden, ist der Winkel \(\angle DCA\) auch 60° groß.

Wie du fehlende Größen einer Raute berechnest - Abbildung 2

Da in einem Dreieck alle Innenwinkel zusammen 180° ergeben, muss der Winkel \(\angle ADC\) auch 60° groß sein.

Wie du fehlende Größen einer Raute berechnest - Abbildung 3

Da alle Innenwinkel im Dreieck \(ACD\) gleich groß sind, ist es gleichseitig. Damit ist die Diagonale \(e\) genauso lang wie \(a\).

Schritt 2: Berechne den Flächeninhalt

Um den Flächeninhalt der Raute zu berechnen, müssen die Längen der Diagonalen \(e\) und \(f\) bekannt sein. In unserem Fall ist \(e\) genau wie \(a\) \(4\ cm\) lang und die Diagonale \(f = 6,9\ cm\). Damit kannst du \(e\) und \(f\) in die Formel einsetzen und den Flächeninhalt berechnen.

\(A=\frac{1}{2}\cdot4\ cm\cdot6,9\ cm=13,8\ cm^2\)

Lösung

a) Die Seite \(a\) ist \(4\ cm\) lang.

b) Der Flächeninhalt der Raute beträgt \(13,8\ cm^2\).

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