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Wie du exponentielles Wachstum erkennst und beschreibst


Aufgabe

Die folgende Tabelle gibt den Wertverlust eines Neuwagens pro Jahr in Deutschland an. Gib eine Exponentialfunktion an, die den Wertverlust abbildet, und ergänze die Tabelle.

Jahr

0

    1    

2

Wert

20.000

 

14.450

 

Schritt 1: Gleichung aufstellen

Eine Exponentialfunktion hat immer eine Gleichung der Form

\(f(x)=a\cdot b^x\)

für geeignete Zahlen \(a \) und \(b \) aus \(\mathbb{R}\). Du musst \(a\) und \(b\) so bestimmen, dass

\(f(0)=20.000\) und \(f(2)=14.450 \) gilt.

Die erste Bedingung (Startwert) liefert dir sofort den unbekannten Parameter \(a\), denn

\(f(0)=20.000\) bedeutet \(a\cdot b^0=20.000\), also \(a=20.000\) (weil \( b^0=1\) ist, unabhängig von \(b\)).

Jetzt weißt du, dass \(f\) eine Gleichung der Form

\(f(x)=20.000\cdot b^x\)

hat, und setzt die zweite Bedingung ein, um \(b\) zu bestimmen:

\(f(2)=14.450\Longrightarrow 20.000\cdot b^2=14.450\Longrightarrow b^2=\frac{14.450}{20.000}=0,7225.\)

Wegen \(b>0\) kannst du links und rechts einfach die Wurzel ziehen und bekommst

\(b=\sqrt{0,7225}=0,85\).

Die gesuchte Exponentialfunktion lautet also

\(f(x)=20.000\cdot (0,85)^x\).

Tipp: Du kannst schon aus den Stichwörtern „Exponentialfunktion“ und „Wertverlust“ in der Aufgabenstellung schließen, dass es um exponentielle Abnahme geht, d. h. \(f(x)=a\cdot b^x \) mit \(a>0 \) und \(0<b<1\). (Ist \(b>1\), so handelt es sich um exponentielles Wachstum.)

Schritt 2: Tabelle ergänzen

In der Tabelle fehlt noch der Wert der Funktion für \(x=1\). Durch Einsetzen ergibt sich

\(f(1)=20.000\cdot (0,85)^1=20.000\cdot 0,85=17.000\).

Lösung

Somit lautet die vervollständigte Tabelle:

Jahr

0

1

2

Wert

20.000

17.000

14.450

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