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Wie du Exponentialgleichungen löst


Aufgabe

Gib die Lösungen folgender Gleichungen an.

  1. \(0{,}5^x-1=6\)
  2. \(\left(\frac{2}{3}\right)^x=5\)
  3. \(2^x+2^{2+x}=0\)

Lösung für a)

Schritt 1: Gleichung umstellen

Du musst die Gleichung erst mal so umstellen, dass links nur noch eine Potenz und rechts nur noch eine Zahl steht:

\(\begin{align*} &0{,}5^x-1=6&&|+1\\ &0{,}5^x=7 \end{align*}\)

Schritt 2: Logarithmieren und Logarithmusgesetze anwenden

Wenn du eine Potenzgleichung hast, in der die Variable \(x\) im Exponenten auftaucht, dann musst du beide Seiten logarithmieren. Wende einen Logarithmus an, den dein Taschenrechner berechnen kann, zum Beispiel den Logarithmus zur Basis 10 (log-Taste):


\(\begin{align*} &0{,}5^x=7&&|\log\text{ anwenden}\\ &\log(0{,}5^x)=\log(7)&&|\text{Logarithmusgesetz anwenden}\\ &x\cdot\log(0{,}5)=\log(7) \end{align*}\)

Im letzten Schritt wurde das Logarithmusgesetz gebraucht, das besagt

\(\log\left(a^x\right)=x\cdot\log(a)\).

Diese Regel erlaubt es also, die Variable x aus dem Exponenten runterzuholen.

Jetzt musst du nur noch durch \(\log(0{,}5)\) teilen:


\(\begin{align*} &x\cdot\log(0{,}5)=\log(7)&&|: \log(0{,}5)\\ &x=\frac{\log(7)}{\log(0{,}5)} \end{align*}\)

Der Taschenrechner liefert dafür

\(x=\frac{\log(7)}{\log(0{,}5)}\approx-2{,}81\).

Lösung für b)

Schritt 1: Gleichung umstellen

Diesmal steht links nur eine Potenz und rechts nur eine Zahl, also kannst du gleich mit Schritt 2 weitermachen.

\(\begin{align*}\left(\frac{2}{3}\right)^x=5 &0{,}5^x-1=6&&|+1\\ &0{,}5^x=7 \end{align*}\)

Schritt 2: Logarithmieren und Logarithmusgesetze anwenden

Wenn du eine Potenzgleichung hast, in der die Variable x im Exponenten auftaucht, dann musst du beide Seiten logarithmieren. Wende einen Logarithmus an, den dein Taschenrechner berechnen kann, zum Beispiel den Logarithmus zur Basis 10 (log-Taste):

\(\begin{align*} &\left(\frac{2}{3}\right)^x=5&&|\log\text{ anwenden}\\ &\log\left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)=\log(5)&&|\text{Logarithmusgesetz anwenden}\\ &x\cdot\log\left(\frac{2}{3}\right)=\log(5) \end{align*}\)

Im letzten Schritt wurde das Logarithmusgesetz gebraucht, das besagt

\(\log\left(a^x\right)=x\cdot\log(a)\).

Diese Regel erlaubt es also, die Variable \(x\) aus dem Exponenten runterzuholen.

Jetzt musst du nur noch durch \(\log\left(\frac{2}{3}\right)\) teilen:

\(\begin{align*} &x\cdot\log\left(\frac{2}{3}\right)=\log(5)&&|:\log\left(\frac{2}{3}\right)\\ &x=\frac{\log(5)}{\log\left(\frac{2}{3}\right)} \end{align*}\)

Der Taschenrechner liefert dafür

\(x=\frac{\log(5)}{\log\left(\frac{2}{3}\right)}\approx-3{,}97\).

Lösung für c)

Schritt 1: Gleichung umstellen

Du musst die Gleichung erst mal so umstellen, dass links nur noch eine Potenz und rechts nur noch eine Zahl steht. Dazu musst du erst mal die Potenz \(2^{2+x}\) so umschreiben, dass du daraus \(2^x\) ausklammern kannst. Da hilft das folgende Potenzgesetz:

\(a^{(x+y)}=a^x\cdot a^y\)

In unserem Fall heißt das:

\(2^{(2+x)}=2^2\cdot 2^x\)

Jetzt kommst du folgendermaßen auf eine reine Potenzgleichung:

\(\begin{align*} &2^x+2^{2+x}=0&&|\text{ Potenzgesetz anwenden}\\ &2^x+2^2\cdot2^x=0&&|2^x\text{ ausklammern}\\ &2^x(1+2^2)=0&&|:(1+2^2)\\ &2^x=0 \end{align*}\)

Schritt 2: Logarithmieren und Logarithmusgesetze anwenden

Dieser Schritt entfällt, weil die rechte Seite der Gleichung

\(2^x=0\)

gar nicht logarithmiert werden kann. Der Grund dafür ist, dass eine Potenz mit positiver Basis (wie hier die Potenz \(2^x \) mit Basis 2) immer positiv ist, also insbesondere nie null wird. Es gibt daher keine Lösung dieser Gleichung.

Wenn nach der Lösungsmenge gefragt ist, dann musst du in einem solchen Fall die leere Menge angeben, für die es zwei Schreibweisen gibt:

\(\mathbb{L}=\emptyset\)

oder

\(\mathbb{L}=\{~\}\)

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