Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du Exponentialfunktionen aufstellst, die durch bestimmte Punkte verlaufen sollen


Aufgabe

Bestimme die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion, die durch die Punkte A(2|294) und B(5|806,736) verläuft.

Schritt 1: Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung auf

Als Erstes musst du die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufschreiben. Diese lautet:

\(f(x) = b\cdot a^x\)

Dabei ist b der Anfangswert und a der Wachstumsfaktor. Diese beiden Größen musst du im Folgenden berechnen.

Schritt 2: Setze die Punkte in die Funktionsgleichung ein

Jetzt setzt du die Koordinaten der beiden gegebenen Punkte für x und y in die Funktionsgleichung ein. Denke dran: f(x) steht für y. Es entstehen zwei Gleichungen.

Mit Punkt A:   I.  \(294 = b \cdot a ^2\)

Mit Punkt B:   II. \(806,736 = b \cdot a^5\)

Schritt 3: Löse das Gleichungssystem

Das so entstandene Gleichungssystem musst du jetzt lösen. Dazu kannst du eine der Methoden verwenden, die du zum Lösen von Gleichungssystemen gelernt hast.

Eine Möglichkeit wäre das Einsetzverfahren. Du löst eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Unbekannten auf und setzt den entstehenden Term in die andere Gleichung ein.

Schritt 3a: Löse die Gleichung I nach b auf

I. \(294 = b \cdot a^2\) | \(: a^2\)

I*.     \(\frac{294}{a^2} = b\)

Schritt 3b: Setze diesen Term für b in Gleichung II ein

I* in II. \(806,736 = \frac{294}{a^2} \cdot a^5\)

Schritt 3c: Berechne a

Du kannst \(a^5\) und \(a^2\) miteinander kürzen. Übrig bleibt \(a^3\).

I* in II. \(806,736 = 294 \cdot a^3\)

Teile nun durch 294.

\(806,736 = 294 \cdot a^3\) | \(: 294\)

\(2,744 = a^3\)

Nun ziehst du die 3. Wurzel.

\(a = \sqrt[3]{2,744}\) = 1,4

Schritt 3d: Setze diese Zahl für a in I* ein und berechne b

I*. \(b = \frac{294}{a^2} = \frac{294}{1,4^2} = 150\)

Schritt 4: Setze die berechnete Werte in die Funktionsgleichung ein

Als Letztes musst du nur noch die Werte, die du für a und b berechnet hast, in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen.

\(f(x) = b \cdot a^x\)

Mit b = 150 und a = 1,4:

\(f(x) = 150 \cdot 1,4^x\)

Lösung

Der Funktionsterm der Exponentialfunktion durch die Punkte A(2|294) und B(5|806,736) lautet:

\(f(x) = 150 \cdot 1,4^x\)

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier