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Wie du ganzrationale Funktionen so bestimmst, dass der Graph der Funktion durch bestimmte Punkte verläuft


Aufgabe

Bestimme eine ganzrationale Funktion 3. Grades so, dass ihr Graph durch folgende Punkte verläuft:

\(A(1|-3), \ B(0|-4), \ C(2|0), \ D(3|2)\)

Schritt 1: Stelle eine allgemeine Funktionsgleichung auf

Zunächst weißt du nur, dass die Funktion eine Funktion 3. Grades ist. Also hat sie die allgemeine Form:

\(f(x)=a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\)

Wenn du alle diese Koeffizienten (also: \(a_3,\ a_2,\ a_1,\ a_0\)) bestimmt hast, bist du fertig.

Tipp

Hier kennst du schon eine Nullstelle: \(C\ (2|0)\). Das kannst du dir zunutze machen! Du schreibst den Funktionsterm noch einmal als Produkt aus einem Linearfaktor und einem Rest.

\(f(x) = (x-2) \cdot (ax^2 + bx + c)\)

Der Linearfaktor ist \((x-2)\). Er sorgt dafür, dass das ganze Polynom \(0\) wird, wenn man \(x=2\) einsetzt, so wie es die Nullstelle \(C(2|0)\) verlangt. Das kannst du mit jeder Nullstelle so machen. Der Restterm ist nur noch vom Grad 2. Das ist einfacher!

Schritt 2: Setze die Punkte in die Funktionsgleichung ein

Als Nächstes setzt du für alle Punkte jeweils x- und y-Wert in die Funktionsgleichung ein und erhältst 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

\(I) \ \ -3 = (1 -2) \cdot (a \cdot 1^2 + b \cdot 1 +c )\)

\(II) -4 = (0-2) \cdot (a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c)\)

\(III) \ \ \ 2 = (3-2) \cdot (a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c )\)

Schritt 3: Löse das Gleichungssystem

Jetzt löst du das Gleichungssystem. Die einfachste Gleichung ist die zweite. Es gilt:

\(II)\ -4 = (0-2) \cdot (a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c) = -2 \cdot c \\ II)\ -4 = -2 \cdot c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | :(-2) \\ II)\ \ \ \ \ \ c= 2\)

Jetzt kannst du die 2. Gleichung nach \(a\) auflösen und dabei \(c=2\) setzen.

\(I) \ -3 = (1 -2) \cdot (a \cdot 1^2 + b \cdot 1 +c ) \\ I) \ -3 = -1 \cdot (a + b +2 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | :(-1) \\ I) \ \ \ \ \ \ 3= a + b + 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | -b \ \ \ \ | -2 \\ I) \ \ \ \ \ \ a = 1 - b\)

Dann setzt du \(a\) und \(c\) in die 3. Gleichung ein.

\(III)\ \ \ \ \ \ 2 = (3-2) \cdot ((1 - b ) \cdot 3^2 + b \cdot 3 + 2 ) \\ III) \ \ \ \ \ \ 2 = (1 - b ) \cdot 9 + 3b + 2) \\ III) \ \ \ \ \ \ 2 = 9 - 9b + 3b + 2 \\ III) \ \ \ \ \ \ 2 = 11 -6b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | -11 \\ III) \ -9 = -6b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | :(-6) \\ III) \ \ \ \ \ \ b = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}\)

Jetzt setzt du dieses \(b\) in die Gleichung \(a = 1 - b\) ein und erhältst:

\(a = 1 - \frac{3}{2} = \frac{-1}{2}\)

Jetzt ist deine Funktion fertig bestimmt.

\(f(x) = (x-2) \cdot ( \frac{-1}{2} x^2 + \frac{3}{2} x + 2)\)

Wenn du den Funktionsterm jetzt noch als Polynom schreiben möchtest, dann kannst du einfach die Klammern ausmultiplizieren. Du erhältst:

\(f(x) = -\frac{1}{2} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + 2x + x^2 -\frac{6}{2} x -2 \cdot 2 = -\frac{1}{2} x^3 + \frac{5}{2} x^2 -x -4\)

Lösung

Die Funktionsgleichung lautet:

\(f(x) = -\frac{1}{2} x^3 + \frac{5}{2} x^2 -x -4\)

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