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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Erwartungswert und Varianz berechnest

Aufgabe

Nach der Wahl darf die Partei A in einem Ausschuss drei Sitze besetzen. Von den acht Stadträtinnen und vier Stadträten der Partei A, die Interesse an einem Sitz in diesem Ausschuss äußern, werden drei Personen per Losentscheid als Ausschussmitglieder bestimmt.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der weiblichen Ausschussmitglieder der Partei A. Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) mit \( P(X=0)=\frac{1}{55}\) und \( P(X=3)=\frac{14}{55}\).

Wie du Erwartungswert und Varianz berechnest - Abbildung 1

Bestimme Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße \(X\).

[Hinweis: \(P(X=1)=\frac{12}{55}\) und \(P(X=2)=\frac{28}{55}\)]

[Ergebnis: \(\text{E}(X)=2\), \(\text{Var}(X)=\frac{6}{11}\)]

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung von X tabellieren

Zu jedem Wert, den die Zufallsvariable \(X\) annehmen kann, musst du wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit er angenommen wird. Dank des Hinweises sind alle diese Informationen gegeben und du musst sie für diesen Schritt nur noch übersichtlich darstellen.

In der ersten Zeile notierst du die möglichen Werte \(k\), die \(X\) annehmen kann. In der zweiten Zeile kommen dann die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

\(k\)

0

1

2

3

\(P(X=k)\)

\(\frac{1}{55}\)

\(\frac{12}{55}\)

\(\frac{28}{55}\)

\(\frac{14}{55}\)

Schritt 2: Formel für den Erwartungswert anwenden

Den Erwartungswert von \(X\) erhältst du, indem du jeden Wert aus der 1. Zeile der Tabelle aus Schritt 1 mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit in der zweiten Zeile multiplizierst und die Ergebnisse alle zusammen zählst.

\(\begin{align*} \text{E}(X)&=0\cdot\frac{1}{55}+1\cdot\frac{12}{55}+2\cdot\frac{28}{55}+3\cdot\frac{14}{55}\\ &=\frac{12}{55}+\frac{56}{55}+\frac{42}{55}\\ &=\frac{110}{55}=2 \end{align*}\)

Der Erwartungswert der Zufallsvariable \(X\) ist also 2.

Schritt 3: Formel für die Varianz anwenden

Die Varianz von \(X\) erhältst du in 3 Teilschritten.

Verteilung zentrieren

Zuerst ziehst du von jedem Wert der 1. Zeile in der Verteilungstabelle den in Schritt 2 berechneten Erwartungswert \(\mu=\text{E}(X)\) ab; die Ergebnisse kannst du in einer dritten Zeile der Tabelle ergänzen.

\( k\)

0

1

2

3

\(P(X=k)\)

\(\frac{1}{55}\)

\(\frac{12}{55}\)

\(\frac{28}{55}\)

\(\frac{14}{55}\)

\(k-\mu\)

\(-2\)

\(-1\)

\(0\)

\(1\)

Zentrierte Werte quadrieren

Jetzt nimmst du das Quadrat aller Werte der 3. Zeile.

\(k\)

0

1

2

3

\(P(X=k)\)

\(\frac{1}{55}\)

\(\frac{12}{55}\)

\(\frac{28}{55}\)

\(\frac{14}{55}\)

\(k-\mu\)

\(-2\)

\(-1\)

\(0\)

\(1\)

\((k-\mu)^2\)

4

1

0

1

Quadrierte Werte gewichten und summieren

Die Varianz von \(X\) erhältst du jetzt, indem du die Werte in der 4. Zeile der obigen Tabelle mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten in der 2. Zeile multiplizierst und die Ergebnisse zusammenzählst.

\(\begin{align*} \text{Var}(X)&=4\cdot\frac{1}{55}+1\cdot\frac{12}{55}+0\cdot\frac{28}{55}+1\cdot\frac{14}{55}\\ &=\frac{4}{55}+\frac{12}{55}+\frac{14}{55}\\ &=\frac{30}{55}=\frac{6}{11} \end{align*}\)

Die Zufallsvariable \(X\) hat also eine Varianz von \(\frac{6}{11}\).

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