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Wie du einfache Grenzwerte ausrechnest


Aufgabe

Berechne die Grenzwerte.

a) \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x\ +\ 1}{x^2\ -\ 4}\)

b) \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x^2\ +\ 4x}{3x\ -\ 2}\)

Lösungsschritte Teilaufgabe a)

a)  \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x\ +\ 1}{x^2\ -\ 4}\)

Schritt 1: Die größte x-Potenz des Nenners ausklammern

Wenn du den Grenzwert von gebrochenrationalen Funktionen berechnen sollst, dann gibt es dafür einen Trick: Du klammerst oben und unten die größte Potenz von x aus, die im Nenner vorkommt. Das wäre bei dieser Funktion hier x². Aber nicht vergessen: Du musst dazu jedes Element des Bruchs durch x² teilen.

\(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x\ +\ 1}{x^2\ -\ 4} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2\ \cdot\ (\frac{2x}{x^2}\ +\ \frac{1}{x^2})}{x^2\ \cdot\ (\frac{x^2}{x^2}\ -\ \frac{4}{x^2})}\)

Schritt 2: So viel wie möglich kürzen

Als Nächstes kürzt du in dem Bruch so viel wie möglich. Die x-Potenz, die du ausgeklammert hast, kannst du immer kürzen. Auch in den einzelnen kleinen Brüchen lässt sich meistens eine x-Potenz wegkürzen.

\(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2\ \cdot\ (\frac{2x}{x^2}\ +\ \frac{1}{x^2})}{x^2\ \cdot\ (\frac{x^2}{x^2}\ -\ \frac{4}{x^2})} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2}{x}\ +\ \frac{1}{x^2}}{1\ -\ \frac{4}{x^2}}\)

Schritt 3: Grenzwert bestimmen

Wenn du den Bruch in viele einzelne Brüche aufgeteilt hast, kannst du den Grenzwert sehr leicht bestimmen. Dabei gilt: Wenn in einem der einzelnen Brüche eine Zahl oben und eine x-Potenz unten steht, dann geht dieser Bruch immer gegen 0. Eine einzelne Zahl ohne x bleibt einfach übrig. Das sieht bei diesem Beispiel dann so aus:

\( \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2}{x}\ +\ \frac{1}{x^2}}{1\ -\ \frac{4}{x^2}} = \frac{0\ +\ 0}{1\ -\ 0} \)

Das lässt sich jetzt sehr leicht berechnen.

\(\frac{0\ +\ 0}{1\ -\ 0} = \frac{0}{1} = 0\)

Die Lösung der Aufgabe lautet also:

\(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x\ +\ 1}{x^2\ -\ 4} = 0\)

Lösungsschritte Teilaufgabe b)

b)   \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x^2\ +\ 4x}{3x\ -\ 2}\)

Schritt 1: Die größte x-Potenz des Nenners ausklammern

Auch hier musst du als Erstes die größte x-Potenz, die im Nenner vorkommt, ausklammern. Das ist in diesem Fall \(x\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x^2\ +\ 4x}{3x\ -\ 2} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x\ \cdot\ (\frac{5x^2}{x}\ +\ \frac{4x}{x})}{x\ \cdot\ (\frac{3x}{x}\ -\ \frac{2}{x})}\)

Schritt 2: So viel wie möglich kürzen

Als Nächstes musst du im Bruch wieder so viel wie möglich wegkürzen.

\( \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x\ \cdot\ (\frac{5x^2}{x}\ +\ \frac{4x}{x})}{x\ \cdot\ (\frac{3x}{x}\ -\ \frac{2}{x})} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x\ +\ 4}{3\ -\ \frac{2}{x}}\)

Schritt 3: Grenzwert bestimmen

Nun bestimmst du für jeden einzelnen Bruch den Grenzwert. Wieder gilt: Ein Bruch mit einer Zahl oben und einer x-Potenz unten geht gegen 0. Zahlen oder Terme mit x bleiben einfach übrig.

\( \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x\ +\ 4}{3\ -\ \frac{2}{x}} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x\ +\ 0}{3\ -\ 0}\)

Da x gegen unendlich geht, wird der Zähler unendlich groß. Der Nenner aber bleibt konstant bei 3. Der ganze Bruch geht also gegen unendlich. Man sagt auch: Die Funktion divergiert. Du kannst das folgendermaßen schreiben:

\(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x\ }{3}=+\infty\)

Die Lösung lautet also:

\(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x^2\ +\ 4x}{3x\ -\ 2} =+ \infty\)

Lösung

Lösung für Teilaufgabe a):    \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x\ +\ 1}{x^2\ -\ 4} = 0\)

Lösung für Teilaufgabe b):    \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x^2\ +\ 4x}{3x\ -\ 2} = +\infty\)

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