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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du eine Tangentengleichung bestimmst

Aufgabe

Der Graph der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \( h:x\longmapsto -\frac{1}{2}x^2+2x+4\) ist die Parabel \(G_h\).

Ermittle die Gleichung der Tangente an \(G_h\) im Punkt \((-2|h(-2))\).

Schritt 1: Allgemeine Geradengleichung aufstellen

Die Tangente an den Graph von \(h\) im Punkt \((-2|h(-2))\) ist eine Gerade, also ist sie gegeben durch eine Gleichung der Form

\(y=m\cdot x+t\)

für geeignete Parameter \(m\in\mathbb{R}\) und \( t\in\mathbb{R}\). Dabei ist \(m\) die Steigung der Geraden und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt.

Wie du eine Tangentengleichung bestimmst - Abbildung 1

Die Steigung der Tangente im Punkt \((-2|h(-2))\) muss der Steigung des Graphen von \(h\) an dieser Stelle entsprechen und diese bestimmst du mit der Ableitung von \(h\).

Schritt 2: Funktion ableiten

Der vorgegebene Funktionsterm ist \(h(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+4\) und den kannst du gliedweise ableiten: Du erhältst \(h'(x)=-x+2\).

Schritt 3: Funktionswert und Ableitungswert einsetzen

Zur Bestimmung der Tangentengleichung brauchst du die Parameter \(m\) und \(t\).

Dabei ist \(m\) die Steigung von \(G_h\) im Punkt \((-2|h(-2))\), also \(h'(-2)=-(-2)+2=4\). Damit wird die Tangentengleichung zu \(y=4x+t\).

Der Parameter \(t\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt, den du bekommst, indem du einen Punkt der Geraden in die Geradengleichung einsetzt. Vorgegeben ist der Punkt \((-2|h(-2))\), von dem uns aber noch die 2. Koordinate fehlt. Die berechnen wir als Nächstes.

\(h(-2)=-\frac{1}{2}\cdot(-2)^2+2\cdot(-2)+4=-2\)

Die Koordinaten des Punktes lauten also \(({-2}|{-2})\) und die setzt du in die Geradengleichung ein (d. h. \(x=-2\) und \(y=-2\)).

\(-2=4\cdot(-2)+t\Longleftrightarrow -2=-8+t\Longleftrightarrow t=6\)

Damit wird die Tangentengleichung zu:

\(y=4x+6\)

Bemerkung

Oft wird verlangt, dass man den Graphen zusammen mit der berechneten Tangente skizziert. In diesem Fall würde die Skizze so aussehen:

Wie du eine Tangentengleichung bestimmst - Abbildung 2

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