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Wie du eine Zuordnungsvorschrift aufstellst


Aufgabe

Die Tabellen gehören zu proportionalen oder antiproportionalen Zuordnungen. Bestimme die Art der Zuordnung sowie den Proportionalitätsfaktor und gib die Zuordnungsvorschrift an.

  1. Die Eisdiele Venetia hat folgendes Preisschild:
    Eiskugeln 1 2 3 4
    Preis 1,20 € 2,40 € 3,60 € 4,80 €
  2. Die Eisdiele Venetia verkauft in der Woche 20 Kilogramm Schokoladeneis. Für eine optimale Zeitplanung ist in der folgenden Wertetabelle angegeben, wie viele Eismaschinen wie viele Stunden zur Herstellung von 20 Kilogramm Schokoladeneis brauchen.
    Eismaschinen 1 2 3 4
    benötigte Zeit 12 h 6 h 4 h 3 h

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

Schritt 1: Lege die Zuordnung fest

In einer Zuordnung musst du immer Paare aus einem Ausgangswert und einem zugeordneten Wert bilden. Der Ausgangswert ist immer die gegebene Voraussetzung, in unserem Fall also die Anzahl der Eiskugeln. Der zugeordnete Wert hängt immer vom Ausgangswert ab, also hier der Gesamtpreis des Eises. Das kannst du daran erkennen, dass sich der Gesamtpreis ändert, je nachdem wie viele Kugeln Eis du möchtest. Mathematisch schreibt man das so:

\(Anzahl\;der\;Kugeln\mapsto Gesamtpreis\;des \;Eises\)

Du kannst das so vorlesen: Der „Anzahl der Kugeln“ wird der „Gesamtpreis des Eises“ zugeordnet.

Schon ist die Zuordnung fertig.

Schritt 2: Untersuche die Wertetabelle auf Hinweise zur Zuordnungsart

Für den Ausgangswert kannst du einen Buchstaben als Platzhalter verwenden. Oft nimmt man x, du kannst aber jeden Buchstaben verwenden. Wir nehmen jetzt auch einmal x, weil das am häufigsten verwendet wird.

\(Anzahl\;der\;Kugeln= x\)

Für den zugeordneten Wert geht das genauso. Es muss nur ein anderer Buchstabe sein als für den Ausgangswert, meistens wird y verwendet.

\(Gesamtpreis\;des\;Eises= y\)

x (Anzahl der Kugeln) 1 2 3 4
y (Gesamtpreis des Eises) in € 1,20 2,40 3,60 4,80

Der zugeordnete Wert y nimmt mit dem Ausgangswert x zu, das ist typisch für eine proportionale Zuordnung.

Schritt 3: Bestimme den Proportionalitätsfaktor

Um aus einer proportionalen Zuordnung eine Zuordnungsvorschrift zu machen, brauchst du als Nächstes den Proportionalitätsfaktor q. Wie du den aus einer Wertetabelle bestimmst, kannst du dir hier anschauen.

Du kannst zum Ausrechnen des Proportionalitätsfaktors jedes Zuordnungspaar aus Ausgangswert x und zugeordnetem Wert y einsetzen, wir nehmen jetzt mal das Paar für 3 Kugeln Eis.

\(q=\frac{y}{x}=\frac{3,60}{3}=1,20\)

Damit ist der Proportionalitätsfaktor q bestimmt.

Beachte

Die Zuordnung ist nur wirklich proportional, wenn der Proportionalitätsfaktor bei allen Zuordnungspaaren gleich ist. Um sicherzugehen, kannst du das noch nachprüfen. Wenn die Zuordnung nicht überall den gleichen Proportionalitätsfaktor hat, kannst du keine Zuordnungsvorschrift aufstellen. Dann bist du mit Schritt 1 schon fertig und dein Lehrer oder deine Lehrerin hat dir eine gemeine Aufgabe gestellt.

Schritt 4: Stelle die Zuordnungsvorschrift auf

Jetzt hast du alles, was du brauchst, um die Zuordnungsvorschrift aufzustellen.

Ausgangswert x: Anzahl der Kugeln

Art der Zuordnung: proportional

Proportionalitätsfaktor q: 1,20

Bei einer proportionalen Zuordnung, wie in dieser Aufgabe, stellt man die Zuordnungsvorschrift immer so auf:

\(x\mapsto q\cdot x\)

Wenn du jetzt den Wert des Proportionalitätsfaktors einsetzt, hast du auch schon alles.

\(x\mapsto 1,20\cdot x\)

Fertig ist die Zuordnungsvorschrift.

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

Schritt 1: Lege die Zuordnung fest

Das geht genauso wie in Teilaufgabe a. Der Ausgangswert, von dem das Ergebnis abhängt, ist die Anzahl der Eismaschinen. Der zugeordnete Wert ist die Zeit, die gebraucht wird, um 20 Kilogramm Schokoladeneis zu machen.

\(Anzahl\;der\;Eismaschinen\mapsto benötigte\;Zeit\)

Du kannst das so vorlesen: Der „Anzahl der Eismaschinen“ wird die „benötigte Zeit“ zugeordnet.

Die Zuordnung ist fertig.

Schritt 2: Untersuche die Wertetabelle auf Hinweise zur Zuordnungsart

Als Platzhalter für den Ausgangswert nehmen wir jetzt mal n, weil man damit oft die Anzahl abkürzt.

\(Anzahl\;der\;Eismaschinen= n\)

Für den zugeordneten Wert nehmen wir t, weil die Zeit meistens so abgekürzt wird.

\(benötigte\;Zeit= t\)

n (Anzahl der Eismaschinen) 1 2 3 4
t (benötigte Zeit) in h 12 6 4 3

Der zugeordnete Wert t nimmt entgegen dem Ausgangswert n ab, das ist typisch für eine antiproportionale Zuordnung

Schritt 3: Bestimme den konstanten Wert der Zuordnung

Bei einer antiproportionalen Zuordnung brauchst du den konstanten Wert p. Wie du den bestimmst, kannst du dir hier anschauen.

Du kannst für das Ausrechnen des konstanten Wertes jedes zusammengehörende Paar aus Ausgangswert n und zugeordnetem Wert t verwenden, wir nehmen jetzt mal das Paar für 2 Eismaschinen.

\(p = n \cdot t = 2 \cdot 6 = 12\)

Jetzt kennst du auch den konstanten Wert p.

Beachte

Hier gilt das Gleiche wie bei Teilaufgabe a. Wenn die Zuordnung nicht überall den gleichen konstanten Wert hat, ist sie nicht antiproportional und du kannst keine Zuordnungsvorschrift aufstellen.

Schritt 4: Stelle die Zuordnungsvorschrift auf

Damit hast du alles, was du zum Aufstellen der Zuordnungsvorschrift brauchst.

Ausgangswert n: Anzahl der Eismaschinen

Art der Zuordnung: antiproportional

Konstanter Wert p: 12

Bei einer antiproportionalen Zuordnung, wie in dieser Aufgabe, stellt man die Zuordnungsvorschrift so auf:

\(n\mapsto \frac{p}{n}\)

Jetzt musst du nur noch den konstanten Wert einsetzen und bist mit der Aufgabe durch.

\(n\mapsto \frac{12}{n}\)

Fertig ist die Zuordnungsvorschrift.

Lösung

Teilaufgabe a)

Zuordnung: \(Anzahl\;der\;Kugeln \mapsto Gesamtpreis\;des\;Eises\)

Zuordnungsart: proportional

Proportionalitätsfaktor q: 1,20

Zuordnungsvorschrift: \(x \mapsto 1,20 \cdot x\)

Teilaufgabe b)

Zuordnung: \(Anzahl\;der\;Eismaschinen \mapsto benötigte\;Zeit\)

Zuordnungsart: antiproportional

Konstanter Wert p: 12

Zuordnungsvorschrift: \(x\mapsto \frac{12}{x}\)

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