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Wie du eine Funktionsgleichung zu einem Graphen einer Exponentialfunktion aufstellst


Aufgabe

Bestimme die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion zu dem folgenden Funktionsgraphen:

Wie du eine Funktionsgleichung zu einem Graphen einer Exponentialfunktion aufstellst - Abbildung 1

Schritt 1: Notiere die allgemeine Funktionsgleichung

In der Aufgabenstellung steht, dass wir es bei der gesuchten Funktion mit einer Exponentialfunktion zu tun haben. Schreibe also als Erstes die allgemeine Form der Exponentialfunktionen auf. Sie lautet:

\(f(x) = b \cdot a^x\)

b ist dabei der Anfangswert und a der sogenannte Wachstumsfaktor. Du musst b und a bestimmen, um die Aufgabe zu lösen.

Schritt 2: Bestimme den Anfangswert b

Zuerst bestimmst du den Anfangswert b. Er lässt sich leicht vom Funktionsgraphen ablesen: Es ist immer der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse.

Wie du eine Funktionsgleichung zu einem Graphen einer Exponentialfunktion aufstellst - Abbildung 2

Der Funktionsgraph schneidet die y-Achse an der Stelle 2. Also ist der Anfangswert b der Funktionsgleichung gleich 2.

Schritt 3: Bestimme den Wachstumsfaktor a

Jetzt musst du nur noch den Wachstumsfaktor a bestimmen. Dazu brauchst du irgendeinen Punkt, der auf dem Funktionsgraphen liegt. Sehr günstig ist der Punkt mit der x-Koordinate 1.

Wie du eine Funktionsgleichung zu einem Graphen einer Exponentialfunktion aufstellst - Abbildung 3

Der Punkt mit der x-Koordinate 1 hat die y-Koordinate 6. Die Koordinaten dieses Punktes und die Zahl, die du vorhin für b herausgefunden hast, setzt du jetzt in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

\(f(x) = b \cdot a^x\)

\(6 = 2 \cdot a^1\)

Jetzt siehst du, warum ich den Punkt mit der x-Koordinate 1 gewählt habe: Die Gleichung kann man dadurch sehr leicht nach a auflösen.

\(6 = 2 \cdot a \)  | : 2

a = 3

Somit lautet also die gesuchte Funktionsgleichung:

\(f(x) = 2 \cdot 3^x\)

Lösung

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:
\(f(x) = 2 \cdot 3^x\)

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