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Wie du eine Ableitungsfunktion skizzierst


Aufgabe

Unten stehende Abbildung stellt den Graphen einer Funktion f dar. Skizziere in diesem Koordinatensystem den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion f'(x).

Wie du eine Ableitungsfunktion skizzierst - Abbildung 1

Hinweis

Beachte bei solchen Aufgaben folgende Regeln:

  1. Besitzt der Graph der Funktion Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkte, hat die 1. Ableitung dort Nullstellen.
  2. Ändert der Graph der Funktion die Krümmung, besitzt die 1. Ableitung dort einen Hoch- oder einen Tiefpunkt.

Schritt 1: Bestimme die Hoch-,Tief- und Terrassenpunkte der Funktion

An den Stellen, bei denen die Funktion Hoch-,Tief- und Terrassenpunkte besitzt, ist die 1. Ableitung null. Ihr Graph schneidet dort also die x-Achse. In unserem Fall besitzt die Funktion f bei \(x=-1\) einen Tiefpunkt und bei \(x=2\) einen Terrassenpunkt. Das heißt, dass wir bei diesen x-Werten die Nullstellen der 1. Ableitung einzeichen können.

Wie du eine Ableitungsfunktion skizzierst - Abbildung 2

Schritt 2: Teile den Graphen der Funktion in Bereiche ein, in denen er nur fällt bzw. nur steigt

Die 1. Ableitung gibt die Steigung der ursprünglichen Funktion f an. Das bedeutet: Wenn der Graph der Funktion f fällt, ist die 1. Ableitung f' negativ; steigt der Graph von f, ist f' positiv. Die Bereiche, in denen der Graph von f nur fällt bzw. nur steigt, werden von den Nullstellen von f' abgegrenzt. In unserem Fall haben wir also einen Bereich für x-Werte, die kleiner sind als \(x=-1\), einen für x-Werte zwischen \(x=-1\) und \(x=2\) und schließlich noch einen für Werte, die größer als \(x=2\) sind.

Wie du eine Ableitungsfunktion skizzierst - Abbildung 3

Schritt 3: Skizziere die Ableitungsfunktion

Anfangs fällt die Funktion sehr steil, die 1. Ableitung ist also besonders negativ. Das Gefälle wird dann immer kleiner, die 1. Ableitung also weniger negativ. Bei \(x=-1\) ist die 1. Ableitung schließlich null. Da der Graph nun steigt, ist die 1. Ableitung dann positiv. Sie erreicht dann bei einem Wert zwischen \(x=-1\) und \(x=2\) ihr Maximum, da die Steigung vor \(x=2\) wieder kleiner wird und damit die 1. Ableitung kleinere Werte annimmt. Die genauen Koordinaten des Maximums sind für die Skizze nicht wichtig. Bei \(x=2\) ist die 1. Ableitung wieder null und danach wieder positiv, da der Graph der Funktion weiter steigt.

Wie du eine Ableitungsfunktion skizzierst - Abbildung 4

Lösung

Wie du eine Ableitungsfunktion skizzierst - Abbildung 5

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