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Wie du ein lineares Gleichungssystem aufstellst


Aufgabe

Stell ein lineares Gleichungssystem auf, das du zur Lösung der folgenden Aufgabe nutzen könntest:

Katrins Eltern feiern dieses Jahr eine große Party, weil sie zusammen 80 Jahre alt sind. Vor 10 Jahren war Katrins Vater doppelt so alt wie ihre Mutter. Wie alt sind die beiden heute?

Das musst du wissen

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die alle dieselben Unbekannten aufweisen. Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variablen nur in der ersten Potenz auftauchen. Also findest du in einer linearen Gleichung zwar Unbekannte wie \(x\) und \(y\), aber keine Ausdrücke wie \(x^2\) oder \(y^3\).

Wenn du über (noch) unbekannte Größen mehrere Aussagen treffen kannst, kannst du sie in Gleichungen „übersetzen“ und in einem System zusammenfassen. Durch Lösungsverfahren wie z. B. das Additionsverfahren kannst du die Werte der Variablen bestimmen.

Um eine eindeutige Lösung zu finden, brauchst du in der Regel genauso viele Gleichungen, wie du Variablen hast, die es zu bestimmen gilt.

Schritt 1: Lege die Variablen fest

Der erste Schritt zum Erstellen eines linearen Gleichungssystems ist die Bestimmung der Variablen. Es ist nicht immer eindeutig, wofür genau sie stehen sollen, daher kann es durchaus unterschiedliche Gleichungssysteme geben, die zum selben Ergebnis führen. Bei der vorliegenden Aufgabe könntest du z. B. das aktuelle Alter von Katrins Mutter und von Katrins Vater als Variablen wählen. Du definierst dann:

\(x = \text{aktuelles Alter der Mutter}\)

\(y = \text{aktuelles Alter des Vaters}\)

Lösungsalternative

Du könntest auch das Alter, das Katrins Eltern vor 10 Jahren hatten, als Bedeutung für die Variablen \(x\) und \(y\) wählen. Wichtig ist, dass du bei der späteren Beantwortung der Aufgabenstellung die von dir gewählte Bedeutung richtig interpretierst.

Schritt 2: Formuliere eine erste Gleichung

Nun musst du die gelieferten Informationen in Gleichungen umwandeln. Du weißt, dass Katrins Eltern zum aktuellen Zeitpunkt zusammen 80 Jahre alt sind. Das heißt also, dass die Summe aus aktuellem Alter der Mutter und aktuellem Alter des Vaters 80 ergibt. Das liefert dir deine erste Gleichung.

\(x + y = 80\)

Schritt 3: Formuliere eine zweite Gleichung

Nun brauchst du noch eine zweite Gleichung. Du weißt, dass vor 10 Jahren das Alter der Mutter nur die Hälfte des Alters des Vaters betrug. Vor 10 Jahren war Katrins Mutter \(x-\color{red}{10}\), ihr Vater \(y-\color{red}{10}\) Jahre alt. Dass er doppelt so alt war wie sie, heißt, dass sein Alter das 2-Fache ihres Alters war, es muss also gelten:

\(\color{green}2(x-10)=y-10\)

Besonders für die Formulierung der zweiten Gleichung ist es wichtig, dass du bei deiner einmal festgelegten Bedeutung für die Variablen bleibst. In der zweiten Gleichung steht \(x\) immer noch für das aktuelle Alter von Katrins Mutter und \(y\) immer noch für das aktuelle Alter des Vaters. Die Aussage ist zwar eine Aussage über das frühere Alter, dieses hast du aber mithilfe des aktuellen Alters ausgedrückt als \(x-10\) bzw. \(y-10\).

Schritt 4: Fasse die Gleichungen in einem System zusammen

Um deine Gleichungen in einem System zusammenzufassen, versiehst du sie mit römischen Ziffern.

\(\rm{(I)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ x+y=80\\ \rm{(II)}\ 2(x-10)=y-10 \)

Die Ziffern werden vor allem für die Lösung des Gleichungssystems benötigt, damit du übersichtlich darstellen kannst, welche Umformungen du durchführst. Durch die Nummerierung kannst immer eindeutig angeben, welche Gleichung du gerade behandelst.

Lösung

Ein geeignetes lineares Gleichungssystem (LGS) wäre z. B.:

\(\rm{(I)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ x+y=80\\ \rm{(II)}\ 2(x-10)=y-10\)

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