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Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst


Aufgabe

a) Konstruiere ein Dreieck mit den folgenden Eigenschaften:

  • c = 6 cm
  • \(\alpha\) = 30°
  • Die Winkelhalbierende \(w_\alpha\) ist 5 cm lang.

b) Konstruiere ein Dreieck mit den folgenden Eigenschaften:

  • c = 6 cm
  • \(\alpha\) = 70°
  • Die Mittelsenkrechte \(m_c\) ist 4 cm lang.

Hinweis

Eigentlich ist eine Winkelhalbierende eine Halbgerade und eine Mittelsenkrechte eine Gerade. Wird ein Längenmaß für eine von beiden angegeben, so meint man damit den Abschnitt innerhalb des Dreiecks.

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

Konstruiere ein Dreieck mit den folgenden Eigenschaften:

Schritt 1: Zeichne eine Planfigur

Zuerst zeichnest du dir eine Planfigur, in der du alle gegebenen Größen farbig markierst. Das hilft dir in Schritt 2, einen guten Konstruktionsplan zu erstellen.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 1

Schritt 2: Schreibe einen Konstruktionsplan

Jetzt kannst du dir anhand der Planfigur einen Konstruktionsplan überlegen. Am besten ist es, du führst einen Hilfspunkt ein. Und zwar den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Seite a. Er heißt zum Beispiel D.

  1. Ich zeichne die gegebene Strecke c mit den Eckpunkten A und B.
  2. Ich trage den Winkel \(\alpha\) bei A mit dem freien Schenkel b an. Irgendwo auf diesem Schenkel muss sich mein Punkt C befinden.
  3. Ich konstruiere die Winkelhalbierende \(w_\alpha\). Auf dieser muss sich mein Hilfspunkt D befinden.
  4. Ich zeichne einen Kreis um A mit Radius 5 cm. Auch auf diesem Kreis liegt mein Hilfspunkt D. Er ist der Schnittpunkt des Kreises mit der Winkelhalbierenden. Ich zeichne ihn ein.
  5. Ich zeichne eine Halbgerade von B durch D. Auf dieser muss mein Punkt C liegen. C ist der Schnittpunkt des Schenkels b mit der Halbgeraden. Ich beschrifte die Seite a.

Schritt 3: Führe die Konstruktionsschritte durch

1.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 2

2.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 3

3.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 4

4.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 5

5.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 6

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

Konstruiere ein Dreieck mit den folgenden Eigenschaften:

Schritt 1: Zeichne eine Planfigur

Zuerst zeichnest du dir eine Planfigur, in der du alle gegebenen Größen farbig markierst. Das hilft dir später, einen guten Konstruktionsplan zu erstellen.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 7

Schritt 2: Schreibe einen Konstruktionsplan

Jetzt kannst du dir anhand der Planfigur einen Konstruktionsplan überlegen. Dabei sind die ersten beiden Schritte identisch zu Aufgabe a).

  1. Ich zeichne die gegebene Strecke c mit den Eckpunkten A und B.
  2. Ich trage den Winkel \(\alpha\) bei A mit dem freien Schenkel b an. Irgendwo auf diesem Schenkel muss sich mein Punkt C befinden.
  3. Ich konstruiere die Mittelsenkrechte von [AB]. Auf dieser muss sich mein Hilfspunkt D befinden.
  4. Ich zeichne einen Kreis um den Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und c mit Radius 4 cm. Das ist genau die Länge meiner Mittelsenkrechten. Der Schnittpunkt von Kreis und Mittelsenkrechte ist mein Hilfspunkt D.
  5. Ich zeichne eine Halbgerade von B durch D. Auf dieser muss mein Punkt C liegen. Dies ist später die Seite a.
  6. Ich zeichne den Schnittpunkt zwischen Halbgerade und Schenkel b ein. Das ist mein Punkt C.

Schritt 3: Führe die Konstruktionsschritte durch

1.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 8

2.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 9

3.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 10

4.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 11

5.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 12

6.

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 13

Lösung

a)

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 14

b)

Wie du ein Dreieck mithilfe von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter konstruierst - Abbildung 15

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