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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Umkehrfunktion bestimmst

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \(f:x\longmapsto 2-\sqrt{12-2x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f=\,]{-\infty};6]\).

Die Funktion \(f\) ist in \(D_f\) umkehrbar. Gib die Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) von \(f\) an und zeige, dass \(f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+4\) gilt.

Hinweis: In einer Teilaufgabe der Originalprüfung, die dieser Aufgabenstellung voranging, wurde gezeigt, dass \(f\) den Wertebereich \(W_f=\,]{-\infty};2]\) hat. Dieses Ergebnis wird hier ohne Beweis benutzt.

Schritt 1: Definitionsmenge von f-1 angeben

Beim Übergang von Funktion zu Umkehrfunktion vertauschen sich Definitions- und Wertemenge. Der gesuchte Definitionsbereich von \(f^{-1}\) ist also der Wertebereich von \(f\), und der ist \(W_f=\,]{-\infty};2]\).

Es ist also \(D_{f^{-1}}=\,]{-\infty};2]\).

Schritt 2: Funktionsterm von f-1 berechnen

Den Funktionsterm von \(f^{-1}\) bekommst du aus der Funktionsgleichung von \(f\) in vier Schritten, die wir jetzt im Einzelnen durchgehen.

\(f(x)\) in der Funktionsgleichung von \(f\) durch \(y\) ersetzen

Die Funktionsgleichung von \(f\) lautet:

\(f(x)=2-\sqrt{12-2x}\)

In dieser Gleichung ersetzt du \(f(x)\) durch \(y\) und erhältst:

\(y=2-\sqrt{12-2x}\)

\(x\) und \(y\) vertauschen

Jetzt vertauschst du \(x\) und \(y\) und bekommst:

\(x=2-\sqrt{12-2y}\)

Gleichung nach \(y\) auflösen

Diese Gleichung musst du nach \(y\) auflösen.

\(x=2-\sqrt{12-2y}\)

|\(+\sqrt{12-2y}-2\)

\(\sqrt{12-2y}=2-x\)

quadrieren

\(12-2y=(2-x)^2\)

\(|-12\)

\(-2y=(2-x)^2-12\)

\(|:(-2)\)

\(y=\left((2-x)^2-12\right):(-2)=6-\frac{1}{2}(2-x)^2\)

 

Ergebnis: \(y=6-\frac{1}{2}(2-x)^2\)

\(y\) durch \( f^{-1}(x)\) ersetzen

Jetzt ersetzt du \(y\) durch \(f^{-1}(x)\). Es ist also \(f^{-1}(x)=6-\frac{1}{2}(2-x)^2\). Um auf den in der Aufgabenstellung angegebenen Term zu kommen, multiplizierst du das Quadrat aus. Am schnellsten geht das mit der 2. binomischen Formel.

\(\begin{align*} 6-\frac{1}{2}(2-x)^2&=6-\frac{1}{2}(2^2-2\cdot 2\cdot x+x^2)\\ &=6-2+2x-\frac{1}{2}x^2\\ &=-\frac{1}{2}x^2+2x+4 \end{align*}\)

Die Lösung lautet somit:

\(f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+4\)

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