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Wie du die Turmaufgabe löst


Aufgabe

Ein 2 m großer Spaziergänger sieht die Oberkante eines Hochhauses unter einem Winkel von 35°. Nachdem er 50 m näher an das Hochhaus herangetreten ist, beträgt dieser Winkel 50°.

Wie hoch ist das Hochhaus?

Wie du die Turmaufgabe löst - Abbildung 1

Schritt 1: Bezeichnungen festlegen

Höhe des Hochhauses: \(h\)

Höhe der zwei rechtwinkligen Dreiecke: \(h'-2\,\text{m}\)

Skizze:

Wie du die Turmaufgabe löst - Abbildung 2

2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen

Im größeren der beiden rechtwinkligen Dreiecke hat der Öffnungswinkel 35° als Gegenkathete \( h' \)und als Ankathete \(50\,\text{m}+x\).

Laut der trigonometrischen Formeln ist der Tangens eines Winkels gleich Gegenkathete durch Ankathete, also hier

I: \(\tan (35^{\circ})=\frac{h'}{50\,\text{m}+x}\).

Im kleineren Dreieck hat der Öffnungswinkel 50° als Gegenkathete ebenfalls \( h' \) aber als Ankathete \(x\). Also gilt

II: \(\tan(50^{\circ})=\frac{h'}{x}\).

3. Schritt: Gleichungssystem lösen

In einer Klassenarbeit hat man meistens wenig Zeit und arbeitet deswegen gerne etwas ungenau. Gerundete Werte für \(\tan (35^{\circ})\) und \(\tan (50^{\circ}) \) mit dem Taschenrechner zu bestimmen, bevor man weiter rechnet, ist auch in der Regel erlaubt. Es kann aber im Allgemeinen passieren, dass sich solche Rundungsfehler im Verlauf der Rechnung vergrößern. Die besten Ergebnisse erzielt man also dadurch, dass man zuerst alles symbolisch ausrechnet und erst ganz zum Schluss die Tangens-Werte einsetzt und rundet. Aber das wird bei dieser eher anspruchsvollen Aufgabe recht unübersichtlich. Deswegen führen wir zuerst die einfachere Rechnung mit gerundeten Zahlen vor und zeigen dann, wie man die exakte Lösung bestimmt.

1. Weg:

Der einfachste und schnellste Weg zu einer (wegen Rundungsfehlern etwas ungenauen) Lösung ist, die Einheiten vorerst wegzulassen und mit den Näherungswerten \(\tan (35^{\circ})\approx0{,}7 \) und \(\tan (50^{\circ})\approx1{,}19\) weiterzurechnen.

Gleichung I wird dann zu

I: \(0{,}7\approx\frac{h'}{50+x}\)

und II wird zu

II: \(1{,}19\approx\frac{h'}{x}\).

Aus II folgt

\(x=\frac{h'}{1{,}19}\).

Einsetzen in I liefert

\(\begin{align*} 0{,}7&\approx\frac{h'}{50+\frac{h'}{1{,}19}}\\ &=\frac{1{,}19\cdot h'}{1{,}19\cdot 50+h'} \end{align*}\)

\(\Longrightarrow0{,}7\left(1{,}19\cdot 50+h'\right) \approx 1{,}19\cdot h'\)

\(\Longrightarrow\underbrace{0{,}7\cdot 1{,}19\cdot 50}_{= 41{,}65}+0{,}7\cdot h'\approx 1{,}19\cdot h'\).

Zusammenfassen und \(h'\) ausklammern:

\(41{,}65\approx(1{,}19-0{,}7)\cdot h'=0{,}49h'\cdot h'\)

\(\Longrightarrow h'\approx\frac{41{,}65}{0{,}49}=85\)

Jetzt musst du die Einheiten wieder einführen, die wir zur Vereinfachung der Rechnung unterschlagen haben: Alle Längenangaben waren in Metern und \(h'\) war die Höhe des Hochhauses abzüglich der Augenhöhe des Spaziergängers, d. h. \(h'=h-2\,\text{m}\).

Also ist

\(h=h'+2\,\text{m}\approx85\,\text{m}+2\,\text{m}=87\,\text{m}\).

Das Hochhaus ist somit etwa 87 m hoch.

2. Weg (exakte Lösung):

Zur Erinnerung: In Schritt 2 hatten wir folgende zwei Gleichungen aufgestellt:

I: \(\tan (35^{\circ})=\frac{h'}{50\,\text{m}+x}\).

II: \(\tan (50^{\circ})=\frac{h'}{x}\).

Aus II folgt

\(x=\frac{h'}{\tan (50^{\circ})}\).

Einsetzen in I liefert

\(\begin{align*} \tan (35^{\circ})&=\frac{h'}{50\,\text{m}+\frac{h'}{\tan(50^{\circ})}}\\ &=\frac{\tan (50^{\circ})\cdot h'}{\tan (50^{\circ})\cdot 50\,\text{m}+h'} \end{align*}\)

\(\Longrightarrow\tan(35^{\circ})\left(\tan(50^{\circ})\cdot 50\,\text{m}+h'\right)= \tan(50^{\circ})\cdot h'\)

\(\Longrightarrow\tan(35^{\circ})\cdot\tan(50^{\circ})\cdot 50\,\text{m}+\tan(35^{\circ})\cdot h'= \tan(50^{\circ})\cdot h'\).

Zusammenfassen und \(h'\) ausklammern:

\(\Longrightarrow h'=\frac{\tan(35^{\circ})\cdot\tan(50^{\circ})\cdot50\,\text{m}}{\tan(50^{\circ})-\tan(35^{\circ})}\approx84{,}88\,\text{m}\)

\(h'\cdot\left(\tan(50^{\circ})-\tan(35^{\circ})\right)=\tan(35^{\circ})\cdot\tan(50^{\circ})\cdot50\,\text{m}\).

\(\Longrightarrow h'=\frac{\tan(35^{\circ})\cdot\tan(50^{\circ})\cdot50\,\text{m}}{\tan(50^{\circ})-\tan(35^{\circ})}\approx84{,}88\,\text{m}\).

Lösung

Die Gesamthöhe des Hochhauses beträgt \(h=h'+2\,\text{m}\approx84{,}88\,\text{m}\).

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