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Wie du die Schnittpunkte einer Parabel mit einer Geraden bestimmst


Bestimme die Schnittpunkte der Parabel \(y=x^2-1 \) mit den Geraden \(g\) und \(h\) durch Rechnung.

\(g:y=-x+3\)

\(h:y=2x-2\)

Lösung für g

Schritt 1: Terme für Parabel und Gerade gleichsetzen

Wenn es um die Bestimmung von Schnittpunkten geht, dann musst du als Erstes die Funktionsterme gleichsetzen. Für die Parabel ist das der Term \(x^2-1 \) und für die Gerade \(g \) der Term \(-x+3\).

\(x^2-1=-x+3\)

Das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen musst. Bringe dazu alle Terme auf einer Seite.

\(\begin{align*} &x^2-1=-x+3&&|+x-3\\ &x^2-1+x-3=0\quad\\ &x^2+x-4=0\end{align*}\)

Wende jetzt die quadratische Lösungsformel an.

\(\begin{align*} x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}\\ &=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot(-4)}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{-1\pm\sqrt{1+16}}{2}\\ &=-\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{17}\end{align*}\)

Die zwei Lösungen der Gleichung lauten also

\(x_1=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{17}\text{ und }x_2=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{17}\).

Das sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der gegebenen Parabel mit der Geraden \( g\).

Schritt 2: \(y\)-Werte berechnen

Die \(y\)-Koordinaten der Schnittpunkte berechnest du am schnellsten, indem du die \(x\)-Koordinaten in die Geradengleichung \(y=-x+3 \) einsetzt:

\(y_1=-x_1+3=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{17}+3=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{17}\text{ und}\)

\(y_2=-x_2+3=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{17}+3=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{17}\).

Lösung

Die Schnittpunkte sind somit

\(\begin{align*} &P_1\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{17}\right.\left|\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{17}\right)\text{ und }\\ &P_2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{17}\right.\left|\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{17}\right)\end{align*}\)

oder näherungsweise \(\begin{align*} P_1(2,56|5,56)\text{ und }P_2(-1,56|1,44). \end{align*}\)
 

Lösung für h

Schritt 1: Terme für Parabel und Gerade gleichsetzen

Der Term für die Parabel ist nach wie vor \(x^2-1\), aber für die Gerade \(h\) lautet er \(2x-2\). Gleichsetzen liefert

\(x^2-1=2x-2\).

Das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen musst. Bringe dazu alle Terme auf eine Seite.

\(\begin{align*} &x^2-1=2x-2&&|-2x+2\\ &x^2-1-2x+2=0\quad\\ &x^2-2x+1=0\end{align*}\)

Wende jetzt die zweite binomische Formel an: Die sagt dir, dass

\(x^2-2x+1=(x-1)^2\)

ist. Setzt du das in die vorherige Gleichung ein, so ergibt sich

\((x-1)^2=0.\)

Die linke Seite kann nur null werden, wenn \(x-1=0\), also \(x=1\) ist.

Es gibt also genau einen Schnittpunkt der Parabel \(y=x^2-1\) mit der Geraden \(h\), und zwar mit \(x\)-Koordinate \(x_3=1\).

Schritt 2: \(y\)-Werte berechnen

Die \(y\)-Koordinate des Schnittpunktes berechnest du am schnellsten, indem du die \(x\)-Koordinate in die Geradengleichung \(y=2x-2\) einsetzt:

\(y_3=2x_3-2=2\cdot 1-2=0\).

Lösung

Der Schnittpunkt ist also \(P_3(1|0)\).

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