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Wie du die Regel von de l’Hospital anwendest


Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \( f:x\longmapsto\frac{2e^x}{e^x+9}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb{R}\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).

Wie du die Regel von de l’Hospital anwendest - Abbildung 1

Begründe mithilfe des Funktionsterms von \(f\), dass \(\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}f(x)=0\) und \(\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}f(x)=2\) gilt.

Schritt 1: Ersten Grenzwert elementar berechnen

Den Grenzwert \( \lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}f(x)\) kannst du bestimmen, indem du Zähler und Nenner des Funktionsterms getrennt behandelst. Der Zähler ist der Term \(2e^x\) und

\(\begin{align*} \lim_{x\longrightarrow -\infty}2e^x&=\lim_{x\longrightarrow +\infty}2e^{-x}\\ &=\lim_{x\longrightarrow +\infty}\frac{2}{e^x}\\ &=0, \end{align*}\)

denn \(e^x\) im Nenner strebt gegen unendlich, sein Kehrwert also gegen null.

Der Nenner des Funktionsterms von \(f\) ist \(e^x+9\), wobei

\(\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}e^x=0\),

aufgrund derselben Rechnung wie gerade eben. Also folgt:

\(\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}e^x+9=0+9=9\)

Im Funktionsterm von \(f\) geht also der Zähler gegen null und der Nenner gegen 9, das heißt, es gilt:

\(\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\frac{2e^x}{e^x+9}=\frac{0}{9}=0\)

Schritt 2: Zweiten Grenzwert mit der Regel von de l’Hospital berechnen

Der erste Ansatz ist wieder, Zähler und Nenner getrennt zu behandeln. Wegen \(\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}e^x=\infty\) (die Exponentialfunktion wächst unbeschränkt) ist aber

\(\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}2e^x=\infty\) und \(\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}e^x+9=\infty\), das heißt, Zähler und Nenner streben beide gegen unendlich.

In einem solchen Fall wendest du am besten die Regel von de l’Hospital an. Dieser Weg ist besonders einfach, wenn im Funktionsterm \(e\)-Funktionen vorkommen.

Die Regel lautet wie folgt:

Ist \( f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) mit \(\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}g(x)=\infty\) und \(\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}h(x)=\infty\), so ist \(\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}f(x)=\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}\frac{g'(x)}{h'(x)}\), das heißt, man kann bei der Berechnung des Grenzwertes Zähler und Nenner durch ihre Ableitungen ersetzen.

Die Ableitung des Zählers ist in unserem Fall \((2e^x)'=2e^x\) und die Ableitung des Nenners \((e^x+9)'=e^x\). Somit liefert die Regel von de l’Hospital:

\(\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}f(x)=\lim\limits_{x\longrightarrow\infty}\frac{2e^x}{e^x}=2\)

Bemerkung

Die Regel von de l’Hospital kannst du auch benutzen, wenn Zähler und Nenner beide gegen null streben.
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