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Wie du die quadratische Lösungsformel anwendest (Mitternachtsformel, abc-Formel)


Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge.

  1.  \(\frac{1}{2}x^2-8x+14=0\)
  2.  \(3x^2=-6x+9\)

Lösung für a)

Schritt 1: Diskriminante berechnen

Die quadratische Gleichung liegt in der sogenannten allgemeinen Form vor, d. h., es ist nichts ausgeklammert und die Terme sind absteigend nach Potenzen von \(x\) geordnet.

\(ax^2+bx+c=0\)

Daher kannst du direkt die folgende Formel für die Diskriminante benutzen.
\(\begin{align*} D&=b^2-4\cdot a\cdot c= (-8)^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot 14\\ &=64-28=36 \end{align*}\)

Schritt 2: Lösungen mithilfe der Mitternachtsformel berechnen

Da die Diskriminante \(D\) positiv ist, hat die Gleichung zwei Lösungen, die du mit der quadratischen Lösungsformel (z. T. auch „Mitternachtsformel“ genannt) berechnen kannst:

Ist \(x\in\mathbb{R}\) eine Lösung der Gleichung \(ax^2+bx+c=0\), so ist

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\),

wobei \(\pm\) bedeutet, dass an der Stelle entweder ein Plus oder ein Minus steht. Eine Lösung ist also

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-8)-6}{2\cdot\frac{1}{2}}=2\)

und die andere ist

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-8)+6}{2\cdot\frac{1}{2}}=14\).

Lösung

Die Lösungsmenge ist somit

\(\mathbb{L}=\{x_1;x_2\}=\{2;14\}\).

Lösung für b)

Schritt 1: Diskriminante berechnen

Die quadratische Gleichung musst du zuerst in die allgemeine Form bringen, indem du alle Terme von der rechten Seite auf die linke Seite überträgst.

Aus

\(3x^2=-6x+9\)

wird

\(3x^2+6x-9=0.\)

Die drei Koeffizienten \( 3\), \(6\) und \( 9 \) sind alle durch \(3 \) teilbar. Mache dir also das Leben einfacher, indem du die Gleichung durch \(3\) teilst:

\(x^2+2x-3=0\).

Jetzt hat unsere Gleichung die Form

\(ax^2+bx+c=0\).

Daher kannst du die Formel für die Diskriminante benutzen.

\(\begin{align*} D&=b^2-4\cdot a\cdot c= 2^2-4\cdot 1\cdot(-3)\\ &=4+12=16 \end{align*}\)

Bemerkung:

Die Diskriminante der ursprünglichen Gleichung war \(3^2\cdot 16=144\). Da du die Gleichung durch \(3\) geteilt hast, kommen jetzt in der Formel kleinere einfachere Zahlen raus. Die Lösungen der Gleichung bleiben dabei unverändert.

Schritt 2: Lösungen mithilfe der Mitternachtsformel berechnen

Da die Diskriminante \(D\) positiv ist, hat die Gleichung zwei Lösungen, die du mit der quadratischen Lösungsformel (bzw. „Mitternachtsformel“) berechnen kannst.

Ist \(x\in\mathbb{R}\) eine Lösung der Gleichung \(ax^2+bx+c=0\), so ist

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}=\frac{-2\color{green} {\pm}\sqrt{16}}{2}\),

wobei \(\pm\) bedeutet, dass an der Stelle entweder ein Plus oder ein Minus steht. Eine Lösung ist also

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2-4}{2}=-3\)

und die andere ist

\(x_2=\frac{-b\color{green} {+}\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2+4}{2}=1\).

Lösung

Die Lösungsmenge ist somit

\(\mathbb{L}=\{x_1;x_2\}=\{-3;1\}\).

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