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Wie du die quadratische Ergänzung ausführst


Aufgabe

Ermittle zum Term \(2x^2-1,6x+2\) verschiedene äquivalente Terme. Einer davon sollte die Form \(a(x-b)^2+c\) haben.

Schritt 1: Umwandlungsmöglichkeiten bestimmen

Der Term \(2x^2-1,6x+2\) stellt eine quadratische Funktion in der sogenannten allgemeinen Form dar. Das ist die Form \(ax^2+bx+c \) mit reellen Zahlen \(a\), \(b \) und \(c\) (hier: \(a=2\), \(b=-1,6\) und \(c=2\)).

Neben dieser gibt es noch die sogenannte Normalform \(a\cdot\left(x^2+bx+c\right) \)  (mit anderen Werten für \(b\) und \(c\)) bzw. auch: \(x^2 + px + q\).

Schließlich gibt es noch die Scheitelpunktform \(a(x-b)^2+c\)   (mit wieder anderen Werten für \(b\) und \(c\)).

Schritt 2: Term in die Normalform umwandeln

Der Übergang von der allgemeinen Form zur Normalform erfolgt durch Ausklammern des Faktors vor dem \(x^2\):

\(2x^2-1,6x+2=2\cdot(x^2-0,8x+1)\).

Schritt 3: Term in die Scheitelpunktform umwandeln

Jetzt machst du am besten gleich mit der Normalform weiter und leitest die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung her. Das geht wie folgt:

Die Normalform lautet

\(2\cdot(x^2-\color{green} {0,8}x+1)\).

Jetzt machst du einen sogenannten quadratischen Einschub:

Du nimmst die Hälfte des grünen Faktors vor dem \(x \) (also \(0,4\)) und quadrierst – das liefert \(0,4^2\). Diesen Term fügst du einmal mit plus und einmal mit minus in die Klammer ein (direkt hinter dem \(x\)):

Aus \(2\cdot(x^2-0,8x+1)\) wird dann

\(2\cdot\left(x^2-0,8x+0,4^2-0,4^2+1\right)\).

Jetzt wendest du die 2. binomische Formel an. (Hinweis: Wenn der \(x\)-Term in der Normalform \(+0,8x\) statt \(–0,8x\) wäre, müsstest du die 1. binomische Formel an dieser Stelle anwenden.)

Die 2. binomische Formel sagt dir, dass

\(\color{maroon} {x^2-0,8x+0,4^2=(x-0,4)^2}\) ist.

Das bedeutet, dass wir den Term \(x^2-0,8x\) gerade um \(0,4^2\) ergänzt haben, um das Quadrat \((x-0,4)^2\) zu erhalten. Deswegen nennt man diesen Vorgang quadratische Ergänzung.

Auf jeden Fall setzt du die braune Formel jetzt in die vorherige ein und bekommst

\(2\cdot\left(x^2-0,8x+0,4^2-0,4^2+1\right)=2\cdot\left((x-0,4)^2-0,4^2+1\right)\).

Nun berechnest du noch \(-0,4^2+1=-0,16+1=0,84\) und ziehst diesen Term aus der Klammer heraus:
\(\begin{align*} &2\cdot\left((x-0,4)^2-0,4^2+1\right)\\ &=2\cdot\left((x-0,4)^2+0,84\right)\\ &=2\cdot(x-0,4)^2+1,68 \end{align*}\)

Lösung

Das ist nun die gewünschte Scheitelpunktform \(a(x-b)^2+c\) mit \(a=2\), \(b=0,4\) und \(c=1,68\).

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